Die folgenden Bilder und Formeln sind im Wesentlichen den entsprechenden Wikipedia Artikeln entnommen.
Aus dem Physikunterricht ist die rechte Hand Regel bekannt, um die Richtung der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiters in einem Magnetfeld zu bestimmen.
Für diese Kraft, die auch Lorentzkraft
Dabei beschreibt
Mit dem Levi-Civita-Symbol schreibt sich das Kreuzprodukt als
und mit Hilfe der Regel von Sarrus lässt es sich als Determinante ausdrücken.
Gehen wir aus 2 Dimensionen auf 3 Dimensionen über, so wird das von 3 Vektoren aufgespannte Volumen durch das sogenannte Spatprodukt definiert.
Das Spatprodukt
Bei der Vertauschung zweier Faktoren tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Der Wert ändert sich jedoch nicht, wenn man die Faktoren zyklisch vertauscht.
In n-dimensionalen Räumen liefert die Leibniz-Reihe eine Formel zur Berechnung der Determinante, und damit zur Berechnung des Volumens eines höherdimensionalen 'Parallelepipeds', so wie dessen Orientierung. Die Reihe wurde bereits im Jahr 1682 von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt, und in der Zeitschrift Acta Eruditorum veröffentlicht. Für eine
Die Summe wird über alle Permutationen
Den bei Permutation notwendigen Vorzeichenwechsel kann man sich auch anhand von sogenannten Zopfdiagramme aus der Knotentherorie veranschaulichen. Die folgenden Bilder sind einem YouTube Video von broke math student entnommen.
Das Vorzeichen einer Permutation ist gleich der Anzahl der Vertauschungen, modulo 2, die benötigt werden, um die Indices wieder in die Reihenfolge 1, 2, 3, usw. zu bringen. Die Zahl der Permutationen kann durch Abzählen der Knoten im Zopfdiagramm bestimmt werden. Dabei gilt, dass sich Verbindungslinien nicht auf gleicher Höhe schneiden dürfen, Verbindungslinien sich nicht einfach nur berühren, und sich nicht mehr als 2 Verbindungslinien an einem Punkt kreuzen dürfen.
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