Die Determinante als gerichtetes Volumen

Die folgenden Bilder und Formeln sind im Wesentlichen den entsprechenden Wikipedia Artikeln entnommen.

Aus dem Physikunterricht ist die rechte Hand Regel bekannt, um die Richtung der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiters in einem Magnetfeld zu bestimmen.

 Für diese Kraft, die auch Lorentzkraft \(\vec{F}_L \) genannt wird, gilt:

$$\vec{F}_L = q (\vec{v} \times \vec{B})$$

Dabei beschreibt \(\vec{v}\) die Geschwindigkeit einer bewegten Ladung und \(\vec{B}\) den Betrag und die Richtung des Magnetfelds. Die Richtung der Kraft ist also davon abhängig ob der Strom eine Leiterschleife mit oder gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. In diesem Sinne lässt sich das Vektorprodukt aus zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) als gerichtete Fläche interpretieren. Der Betrag von \(\vec{a} \times \vec{b}\) gibt den Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms an.

Mit dem  Levi-Civita-Symbol schreibt sich das Kreuzprodukt als

$$\vec{a} \times \vec{b} = \sum_{i,j,k=1}^{3} \epsilon_{ijk} a_i b_j \vec{e}_k$$

und mit Hilfe der Regel von Sarrus lässt es sich als Determinante ausdrücken.

$$\vec{a} \times \vec{b} = \det \begin{pmatrix}\vec{e}_1 & a_1 & b_1 \\ \vec{e}_2 & a_2 & b_2 \\ \vec{e}_3 & a_3 & b_3 \end{pmatrix}$$

Gehen wir aus 2 Dimensionen auf 3 Dimensionen über, so wird das von 3 Vektoren aufgespannte Volumen durch das sogenannte Spatprodukt definiert.

$$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a})$$

Das Spatprodukt \((\vec{a},\vec{b},\vec{c})\) ist wie das Vektorprodukt nicht kommutativ. Auch das Spatprodukt kann man mit Hilfe der Determinante ausdrücken. 

 $$(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} = - \det\begin{pmatrix} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_ 2 \\ b_3 & a_3 & c_3 \end{pmatrix}$$

Bei der Vertauschung zweier Faktoren tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Der Wert ändert sich jedoch nicht, wenn man die Faktoren zyklisch vertauscht.

In n-dimensionalen Räumen liefert die Leibniz-Reihe eine Formel zur Berechnung der Determinante, und damit zur Berechnung des Volumens eines höherdimensionalen 'Parallelepipeds', so wie dessen Orientierung. Die Reihe wurde bereits im Jahr 1682 von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt, und in der Zeitschrift Acta Eruditorum veröffentlicht. Für eine \(n \times n\) Matrix \(A\) gilt:

$$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}\right)$$

Die Summe wird über alle Permutationen \(\sigma\) der symmetrischen Gruppe \(S_n\) vom Grad n berechnet. \(\operatorname{sgn}(\sigma) \) bezeichnet das Signum der Permuation und liefert +1 falls \(\sigma\) eine gerade Permutation ist, und -1 falls sie ungerade ist. 

Den bei Permutation notwendigen Vorzeichenwechsel kann man sich auch anhand von sogenannten Zopfdiagramme aus der Knotentherorie veranschaulichen. Die folgenden Bilder sind einem  YouTube Video von broke math student entnommen.

Das Vorzeichen einer Permutation ist gleich der Anzahl der Vertauschungen, modulo 2, die benötigt werden, um die Indices wieder in die Reihenfolge 1, 2, 3, usw. zu bringen. Die Zahl der Permutationen kann durch Abzählen der Knoten im Zopfdiagramm bestimmt werden. Dabei gilt, dass sich Verbindungslinien nicht auf gleicher Höhe schneiden dürfen, Verbindungslinien sich nicht einfach nur berühren, und sich nicht mehr als 2 Verbindungslinien an einem Punkt kreuzen dürfen. 

Allgemein liefert der Laplacescher Entwicklungssatz eine häufige genutzte alternative Methode die Determinante einer \(n \times  n\) Matrix zu berechen. Es gilt:

$$\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}$$

wobei \( A_{ij}\) die \((n-1) \times (n-1)\) Untermatrix von \(A\) ist, die durch Streichen der\(i\) -ten Zeile und \(j\)-ten Spalte entsteht.

Viel Spaß beim Selber Rechnen...