Das Noether-Theorem ist ein 1918 von der deutschen Mathematikerin Emmy Noether formulierter Lehrsatz, der elementare physikalische Größen wie Ladung, Energie und Impuls mit geometrischen Eigenschaften verknüpft, nämlich der Unveränderlichkeit der Wirkung unter Symmetrietransformationen.
Dies gilt für alle physikalischen Systeme, deren Bewegungs- oder Feldgleichungen aus einem Variationsprinzip abgeleitet werden können. Man verlangt hierbei, dass ein sogenanntes Wirkungsfunktional einen Extremwert annimmt, wenn die Bewegungs- oder Feldgleichungen erfüllt sind (siehe auch Prinzip der kleinsten Wirkung).
Allgemein wird die Wirkung \(S\) als ein Funktional der sogenannten Lagrangefunktion \(L\) definiert. In der klassischen Physik geschieht dies durch die Integration über die Zeit.
\[S(x) := \int\limits_{t_a}^{t_e} L(t,x(t),\dot x(t))\,\mathrm{d}t \]
In der Newtonschen Mechanik ist die Lagrangefunktion eines Teilchens in einem bestimmten Potential, durch die Differenz von kinetischer Energie \(T=\tfrac{m}{2}v^2\) und potentieller Energie \(V\) gegeben.
\[L(t,x(t),\dot{x}(t))=\frac{1}{2}\,m\,\dot{x}^2(t)- V(x(t))\]
Im Rahmen einer Variationsrechnung könnten wir nun diejenige Bahn \(x(t)\) bestimmen, die die Wirkung \(S\) minimiert. Das ist die Bahn, der das Teilchen natürlicherweise folgt. Allgemein lauten die
Lagrangegleichungen bzw. Bewegungsgleichungen in generalisierten Koordinaten \(q_i\) :
\[\frac{\partial L}{\partial q_i} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right)\]
Im Folgenden wollen wir jedoch keine Variationsrechnung durchführen, sondern zeigen, dass sich aus der Invarianz der Lagrangefunktion unter Transformation des Bezugssystems, physikalische Erhaltungsgrößen ableiten lassen.
Für mechanische Systeme gelten folgende Zusammenhänge:
Beginnen wir damit uns die Impulserhaltung aus der Translationssymmetrie bzw. räumlichen Homogenität eines mechanischen Systems abzuleiten.
Ein System heißt räumlich homogen wenn seine Eigenschaften nicht vom Ort abhängen. Die Lagrangefunktion \(L\) darf sich für räumlich homogene Systeme bei einem Übergang von \(r_n\) zu \(r'_n\) also nicht ändern. Insbesondere muss sie gegen infinitesimale Verschiebungen \(\delta r_o\) invariant sein. Es gilt also:
\[\delta L = \sum_n \nabla_n L \cdot \delta \mathbf{r}_n = \left( \sum_n \nabla_n L \right) \cdot \delta \mathbf{r}_0 = 0\]
Da aber \(\delta \mathbf{r}_0\) beliebig ist, folgt daraus:
\[\quad \sum_n \nabla_n L = 0\]
Komponentenweise gilt unter Benutzung der Lagrange-Gleichungen:
\[0 = \sum_n \frac{\partial L}{\partial x_{i,n}} = \sum_n \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i,n}} \right)\]
und damit
\[\sum_n \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i,n}} = \sum_n p_{i,n} = \text{const.}\]
bzw.
\[\sum_n p_n = \mathbf{P} = \text{const.}\]
Der Gesamtimpuls \(\mathbf{P}\) bleibt also erhalten.
Als nächstes wollen wir uns die Drehimpulserhaltung eines mechanischen Systems aus der räumlichen Isotropie ableiten.
Ändern sich die Eigenschaften eines Systems nicht, wenn man es im Raum dreht, nennt man es räumlich isotrop. Das gilt insbesondere für Drehungen um infinitesimale Winkel \(\delta \Phi\).
\[\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r} + \delta \mathbf{r} = \mathbf{r} + \delta \vec{\phi} \times \mathbf{r}\]
Die Lagrangefunktion muss wieder invariant unter Drehungen sein.
\[\delta L = \sum_n \left( \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_n} \cdot \delta \mathbf{r}_n + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}_n} \cdot \delta \dot{\mathbf{r}}_n \right) = 0\]
Unter Annahme einer 'virtuellen Drehung' \(\delta \phi / dt = 0\) gilt:
\[\begin{align} \delta L &= \sum_n \left( \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_n} \cdot (\delta \boldsymbol{\phi} \times \mathbf{r}_n) + \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}_n} \cdot (\delta \boldsymbol{\phi} \times \dot{\mathbf{r}}_n) \right) \\ &= \delta \boldsymbol{\phi} \cdot \sum_n \left( \mathbf{r}_n \times \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_n} + \dot{\mathbf{r}}_n \times \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}_n} \right) \\ &= \delta \boldsymbol{\phi} \cdot \sum_n \left( \mathbf{r}_n \times \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}_n} + \dot{\mathbf{r}}_n \times \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}_n} \right) \\&= \delta \boldsymbol{\phi} \cdot \sum_n \left( \mathbf{r}_n \times \mathbf{p}_n + \dot{\mathbf{r}}_n \times \mathbf{p}_n \right) \\ &= \delta \boldsymbol{\phi} \cdot \frac{d}{dt} \sum_n \left( \mathbf{r}_n \times \mathbf{p}_n \right) = 0 \end{align}\]
Da aber \(\delta \phi\) beliebig ist, muss damit
\[\sum_{n} (\mathbf{r}_n \times \mathbf{p}_n) = \mathbf{L} = \text{const.}\]
gelten. Der Gesamtdrehimpuls \(\mathbf{L}\) bleibt also erhalten.
Die Energieerhaltung schließlich lässt sich aus der zeitlichen Homogenität herleiten.
Ein physikalisches System heißt zeitlich homogen, wenn seine Eigenschaften nicht von der Zeit selbst, sondern nur von Zeitdifferenzen abhängen. Berechnen wir
\[\frac{dL(q, \dot{q})}{dt} = \sum_i \left\{ \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \ddot{q}_i \right\}\]
so erhalten wir mit der Lagrangegleichung:
\[\frac{dL}{dt} = \sum_i \left\{ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q}_i \right\} = \sum_i \left( \dot{p}_i q_i + p_i \dot{q}_i \right) = \frac{d}{dt} \sum_i p_i \dot{q}_i\]
Also ist
\[\frac{d}{dt} \left( \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}) \right) = \frac{d}{dt} H = 0\]
Der Ausdruck \(H\) ist also eine Erhaltungsgröße. Die Gleichung zeigt die Definition des Hamiltonian \(H\) als
Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion. Es gilt
\[H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L = 2T - (T - V) = T + V = E\]
wobei \(T\) für die kinetische und \(V\) für die potentielle Energie des Systems steht. Die Energieerhaltung folgt also aus der Invarianz eines Systems gegenüber Zeitverschiebungen.
Eine weitere allgemein bekannte Erhaltungsgröße ist die elektrische Ladung eines Systems. Tatsächlich bleibt elektrische Ladung nicht nur global sondern auch lokal erhalten. Damit ist gemeint, dass Ladung aus einem beliebigen Volumen nicht einfach verschwindet und andernorts wieder auftaucht, sondern beim Verlassen des Volumens einen Strom von Ladung aus diesem Volumen erzeugt.
Integrieren wir die Ladungsdichte \(\rho\) über ein Raumvolumen \(V\), erhalten wir die im Volumen eingeschlossene Ladung \(Q\). Die zeitliche Änderung dieser Ladung, entspricht einem Ladungsfluss \(I\) durch die Seitenflächen des Volumens. Der Ladungsfluss kann als Oberflächenintegral einer Flussdichte \(J\) durch die Oberfläche \(B\) geschrieben werden. Relevant sind hierbei nur die Komponenten \(J\cdot n\) senkrecht zur Oberfläche.
Wenn das Volumen \(V\) und damit auch die Oberfläche \(B\) unendlich groß werden, kann damit auch die globale Erhaltung der Ladung gezeigt werden.
Aber auch wenn das Volumen infinitesimal klein wird muss die Ladungserhaltung gelten, wie oben erwähnt. Mit Hilfe des
Divergenz Theorems, auch Gauß Theorem genannt, gelingt der Übergang des Flächenintegrals in ein Volumenintegral, und es lässt sich die unten gezeigte differentielle
Kontinuitätsgleichung notieren.
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\left( \frac{\partial J_x}{\partial x}, \frac{\partial J_y}{\partial y}, \frac{\partial J_z}{\partial z} \right)\ = -\nabla \cdot \mathbf{J}\]
Unsere Aufgabe ist es nun diese Kontinuitätsgleichung aus einer Theorie der Wechselwirkung von Ladungsträgern untereinander herzuleiten. Dazu müssen wir die Lagrangedichte \(\mathcal{L}\) im Rahmen einer relativistischen
Quantenfeldtheorie aufstellen. Die Formulierung einer Lagrangedichte ist deshalb notwendig, weil das Wirkfunktional in der Quantenfeldtheorie nicht als einfaches Integral der Lagrangefunktion \(L\) über die Zeit, sondern als Integral der Lagrangedichte \(\mathcal{L}\) über die Raumzeit definiert wird.
Die Klein‑Gordon‑Theorie ist die einfachste relativistische Quantentheorie für spinlose Teilchen (Bosonen) und basiert auf der
Klein‑Gordon‑Gleichung, einer relativistischen Wellengleichung zweiter Ordnung.
\[- \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \kappa^2 \phi\]
Sie ist historisch die erste konsistente Verallgemeinerung der
Schrödinger-Gleichung auf die spezielle Relativitätstheorie. Für eine reellwertiges Feld \(\phi\) lautet die Lagrangedichte:
\[\mathcal{L} = \frac{1}{2c^2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)^2 - \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 - \frac{1}{2} \kappa^2 \phi^2\]
Analog zu den vorausgegangenen Betrachtungen mechanischer Systeme, ist die Klein-Gordon Gleichung diejenige
Euler‑Lagrange‑Feldgleichung die stationär gegenüber kleinen Variationen des Feldes ist.
Die Lösung dieser generalisierten Wellengleichung sind gewichtete Summen ebener Wellen.
In Erweiterung der Klein-Gordon Gleichung wollen wir \(\phi\) nun als komplexwertiges Feld auffassen. Die Lagrangedichte bleibt realwertig, wir erhalten damit jedoch Gleichungen für realwertige Partikel und komplexwertige 'Antipartikel'.
Der Ausdruck der Lagrangedichte \(\mathcal{L}\) ist rotationssymetrisch, weil \(\phi\) und \(\bar{\phi}\) stets paarweise auftreten, und sich ein Phasenversatz zwischen real- und komplexwertigem Anteil aufhebt.
Die Lagrangedichte ist also invariant gegenüber Multiplikation mit \(e^{ia}\). Das ist die sogenannte unitäre Symmetrie U(1). Unitär deshalb, weil
unitäre Matrizen Vektoren rotieren. Unitäre Matrizen sind durch \(\bar{M}^T M=1\) definiert. 1 steht in der Notation \(U(1)\) für eine 1x1 Matrix.
Ein zusätzliches \(S\) wie bei \(SU(2)\) oder \(SU(3)\) bringt zum Ausdruck, dass es sich um spezielle unitäre Matrizen mit \(det = 1\) handelt.
Das
Noether-Theorem besagt nun vereinfacht folgendes:
Habe ich einen Ausdruck für die Lagrangefunktion \(L\) und eine Symmetrie die \(x\) in \(x+\epsilon\) transformiert, dann gilt \(dL= (EOM)\epsilon + d / dt Q\). \(EOM\) steht hierbei für eine Bewegungsgleichung, und \(Q\) für eine beliebige physikalische Größe, oder einen mathematischen Ausdruck. Da im Fall einer Symmetrie \(d L =0\) gilt, und die Bewegungsgleichung \(EOM\) erfüllt d.h. in entsprechender Notation 0 ist, ergibt sich, dass \(Q\) erhalten bleibt.
Wenden wir das in der Feldtheorie auf Lagrangedichten \(\mathcal{L}\) an, müssen wir ein, ähnlich zu \(Q\) oben, eingeführtes \(J\) nicht nur nach der Zeit, sondern auch dem Ort ableiten. Habe ich eine entsprechende Symmetrie, kann ich aus ähnlichen Überlegungen heraus nun eine Kontinuitätsgleichung herleiten.
Wenden wir das auf die Lagrangedichte für komplexwertige \(\phi\) an, so erhalten wir bei Versatz um \(\epsilon\),
und für \(d\mathcal{L}\) ergibt sich:
Der erste Term beschreibt die Bewegungsgleichung \(EOM\) mal \(\epsilon\). Der zweite Term liefert einen Ausdruck für \(\sigma\) und der dritte für \(J\). Ähnliches gilt auch für \(\bar{\phi}\).
Dies gilt soweit für alle Transformationen um \(\epsilon\). Wenden wir nun die \(U(1)\) Symmetrie an, und entwickeln \(e^{i \alpha}\) in eine Taylorreihe, dann erhalten wir folgende Ausdrücke für \(\rho\) und \(J\):
Was bedeuten diese Ausdrücke? Das Feld \(\phi\) als Lösung der Klein-Gordon Gleichung ist eine Summe von ebenen Wellen. Diese werden in der Quantenfeldtheorie zu Wellenfunktionen die Teilchen erzeugen. Integrieren wir \(\rho\) über ein bestimmtes Raumvolumen, zählen wir die Zahl der Teilchen minus die Zahl der Antiteilchen in diesem Volumen. Tragen diese Teilchen die Ladung \(q\) bestimmen wir dadurch die Gesamtladung.
Im Folgenden wollen wir uns die vollständige Lagrangedichte mit elektromagnetischen Feldern \(\mathbf{E}\) und \(\mathbf{B}\) erarbeiten. Dazu hilft es die Formeln in relativistischer Notation zu formulieren.
Die Einbettung von \(\rho\) in den Stromvektor \(J\) macht Sinn, denn auch wenn eine Ladung ruht, bewegt sie sich durch die Zeit. Die Notation der Kontinuitätsgleichung vereinfacht sich dadurch deutlich.
Mit der Konvention über gleiche Indizes zu summieren vereinfacht sich die Formel weiter zu
\[\partial_\mu J^\mu = 0\]
Die Lagrangedichte der Klein-Gordon Bewegungsgleichung lautet nun unter Verwendung von \(\eta^{\mu\nu}\) und \(c=1\) :
Multiplizieren wir \(\phi\) mit \(e^{-iq\alpha}\) bzw. \(\bar{\phi}\) mit \(e^{iq\alpha}\) für konstante \(q\) und \(\alpha\), dann ist \(\mathcal{L}\) wie bereits gezeigt invariant. Man sagt \(U(1)\) ist global. Der Elektromagnetismus, und das Standardmodell im allgemeinen, sind aber Beispiele für lokale
Eichtheorien, bei denen \(\alpha\) für jeden Punkt in der Raumzeit unterschiedlich sein kann. Konkret heben sich mit variablem \(\alpha\) die Faktoren \(e^{+iq\alpha}\) und \(e^{-iq\alpha}\) beim Bilden der Ableitungen nicht mehr auf.
Das zusätzlich eingebrachte elektromagnetische Potential \(\mathbf{A}\) mit dem elektrischen Potential \(V\) und dem magnetischen Vektorpotential \(\vec{A}\) sorgt dafür, dass sich Mischterme aufheben die sich aus der Ableitung von \(\alpha (X^{\mu})\) ergeben. Den Übergang von \(A_{\mu}\) auf \(A_{\mu} + \partial_{\mu} \alpha\) nennt man
Eichtransformation. Das elektromagnetische Potential ist also vom Bezugssystem abhängig.
Die so definierte Lagrangedichte ist nun auch invariant unter lokaler \(U(1)\) Transformation, und \(\phi\) 'trägt' die elektrische Ladung \(q\) als Quelle des elektrischen Stroms. Den Zusammenhang zwischen den daraus resultierenden elektrischen und magnetischen Feldern regeln die sogenannten
Maxwell-Gleichungen. Um nun aber auch die Maxwellgleichungen aus einem Variationsprinzip ableiten zu können, muss \(\mathcal{L}\) um die Maxwell Lagrangedichte ergänzt werden.
Die Komponenten der elekrischen Feldstärke \(\mathbf{E}\) und der magnetischen Feldstärke \(\mathbf{B}\) ergeben sich als Ableitungen aus dem Viererpotential \(A\).
In voller Schönheit lautet die Lagrangedichte somit wie folgt:
Auch die Maxwell-Lagrangedichte ist invariant gegenüber der \(U(1)\)-Symetrie, denn die lokale \(U(1)\)‑Transformation lautet, wie bereits oben erwähnt:
\[A_\mu \;\rightarrow\; A_\mu' = A_\mu + \partial_\mu \alpha(x).\]
Für \(F_{\mu\nu}\;\rightarrow\; F'_{\mu\nu}\) gilt dann:
\[F'_{\mu\nu}= \partial_\mu A'_\nu - \partial_\nu A'_\mu = \partial_\mu (A_\nu + \partial_\nu \alpha) - \partial_\nu (A_\mu + \partial_\mu \alpha).\]
bzw.
\[F'_{\mu\nu}= (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) + (\partial_\mu \partial_\nu \alpha - \partial_\nu\partial_\mu \alpha) = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = F_{\mu\nu}\]
Der Feldstärketensor ist also eichinvariant.
Viel Spaß beim selber rechnen...
