Die Leitungstheorie befasst sich mit Erscheinungen auf elektrischen Leitungen, deren Länge in der Größenordnung der Wellenlänge des übertragenen Signals liegt. Für hohe Frequenzen können solche Leitungen als verlustlos angenommen werden. Die Eingangsimpedanz \( Z_1 \) einer solchen Zweidrahtleitung der Länge \( l \), mit dem reelwertigen Wellenwiderstand \( Z_L \) und einer Lastimpedanz \( Z_2 \) ist gegeben durch:
\[Z_1 = Z_L \cdot \frac{Z_2 + j Z_L\tan(\beta l)}{Z_L + j Z_2 \tan(\beta l)}\]
Dabei bezeichnet \(\beta = 2 \pi / \lambda\) die Wellenzahl.
Bei kurzgeschlossener Last gilt:
\[Z_1 = j\, Z_L \tan(\beta l)\]
und bei offener Leitung entsprechend:
\[Z_1 = -j\, Z_L / \tan(\beta l)\]
Im Bild unten sind exemplarisch die Blindwiderstände, also der Imaginärteil der Eingangsimpedanz \(Z_1\), für eine leerlaufende und einer kurzgeschlossene Leitung mit \(Z_L = 50 \Omega\) gezeigt.
Eine leeraufende Leitung verhält sich für Leitungslängen \( 0 < l < \lambda / 4 \) aufgrund des negativen Blindwiderstandes kapazitiv, und für \( \lambda / 4 < l < \lambda / 2 \) induktiv. Das erklärt z.B. warum der Eingangswiderstand einer als leerlaufende Leitung interpretierbaren Antenne mit \(l < \lambda/4 \) im Fußpunkt durch eine Spule kompensiert werden kann. Eine kurzgeschlossene Leitung hingegen zeigt gegenteiliges Verhalten.
Diskrete Tiefpassfilter bestehen aus parallel liegenden Kondensatoren und in Reihe angeordneten Spulen.
Beim Entwurf eines Tiefpassfilters bestimmter Dämpfung, hier mit Tschebyscheff Charakteristik,
nutzt man häufig Tabellen mit normierten Filterkoeffizienten \(L'\) bzw. \(C'\). Die normierten Filterkoeffizienten für Tschebyscheff-Filter der Ordnung n lauten mit \(0,5 dB\) Restwelligkeit lauten z.B.:
| n | C₁′(L₁) | L₂′(C₂) | C₃′(L₃) | L₄′(C₄) | C₅′(L₅) | L₆′(C₆) | C₇′(L₇) | L₈′(C₈) | C₉′(L₉) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 1.596 | 1.097 | 1.596 | — | — | — | — | — | — |
| 5 | 1.706 | 1.230 | 2.541 | 1.230 | 1.706 | — | — | — | — |
| 7 | 1.737 | 1.258 | 2.638 | 1.344 | 2.638 | 1.258 | 1.737 | — | — |
| 9 | 1.750 | 1.269 | 2.668 | 1.367 | 2.724 | 1.367 | 2.668 | 1.269 | 1.750 |
Es gelten die folgenden Zusammenhänge:
\[L=\frac{Z_0 L'}{2\pi f_g}\]
und
\[C=\frac{C'}{2\pi f_g Z_0}\]
Dabei bezeichnet \(Z_0\) die sogenannte Systemimpedanz, also z.B. \(50 \Omega\), und \(f_g\) die Grenzfrequenz \(\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\). Mit Hilfe dieses Zusammengangs ergibt sich für Streifenleitungsfilter:
\[Z_L=Z_0 L'\]
und
\[Z_L=Z_0 / C'\]
Im Bild unten ist der Wellenwiderstand für FR4 und einige HF-Leiterplattensubstrate in Abhängigkeit der Breite \(w\) der Leiterbahnen, und der Dicke \(h\) des Substrats gezeigt.
Breite Streifenleitungen haben also einen kleinen Wellenwiderstand und schmale Streifen einen großen Widerstand. Die Grenzfrequenz des Filters wird durch die Länge der Streifen bestimmt.
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Bereich für epsilon_r epsilon_r = np.linspace(1, 10, 500) # Hammerstad-Jensen Funktion def epsilon_eff(eps_r, w_h): h = 1.0 W = w_h if w_h != 0 else 1e-9 # Verhindert Division durch 0 term1 = (eps_r + 1) / 2 term2 = (eps_r - 1) / 2 part = (1 / np.sqrt(1 + 12 * (h / W))) + 0.04 * (1 - W/h)**2 return term1 + term2 * part # Plot vorbereiten plt.figure(figsize=(10, 6)) # Kurvenschar erzeugen w_h_values = np.arange(0, 5.5, 0.5) for w_h in w_h_values: eps_eff_curve = epsilon_eff(epsilon_r, w_h) plt.plot(epsilon_r, eps_eff_curve, label=f"W/h = {w_h:.1f}") # Plot dekorieren plt.title("Hammerstad-Jensen: Effektive Permittivität ε_eff") plt.xlabel("ε_r (Substrat-Permittivität)") plt.ylabel("ε_eff (effektive Permittivität)") plt.grid(True) plt.legend() plt.tight_layout() plt.show()
Wir wollen wir nun konkret einen Tiefpassfilter 3ter Ordnung mit einer Grenzfrequenz von 1GHz und einer Restwelligkeit von 0,5 dB unter Verwendung eines 1,5 mm dicken FR-4 Substrats aufbauen. Die Systemimpedanz soll \(50\Omega\) betragen.
Die \(50 \Omega\) Strecke zeigt zwischen 500 MHz und 1.5 GHz kaum Verluste, und scheint laut Smith Diagramm recht gut angepasst zu sein.
Der Tiefpass zeigt im \(S_{11}\) Streuparameter wie gewünscht ab 1 GHz deutliche Rückreflexionen.
Wir können die Grenzfrequenz bei - 3dB mit 980 MHz ablesen. Hält man sich die Einfachheit des Aufbaus vor Augen, ist dies wie ich finde eine bemerkenswert gute Übereinstimmung mit dem beabsichtigten Wert von 1GHz.
