Ein Vertikalplotter für Kritzelkunst

Als 'Scribble Art' oder 'Kritzelkunst' wird eine Maltechnik bezeichnet, bei der Zeichnungen aus unregelmäßigen, oft schnellen und freien Strichen geschaffen werden. Typischerweise wirken die Werke zunächst wie zufällige Kritzeleien, doch durch Variation in Linienführung, Dichte und Bewegung entsteht ein erkennbares Motiv wie z.B. ein Portrait.

Die Software Drawing Bot kann Fotos in Vektorgrafiken und Plotter‑Art umwandeln, und unterstützt auch in der freien Version viele anpassbare Stile. Nachdem ich mit dem Online-Tool Photoroom den Hintergrund eines Bildes entfernt habe, habe ich die Voreinstellungen für den 'Pencil Sketch' Stil meinen Vorstellungen anpasst. Eine ausführliche Dokumentation aller Möglichkeiten findet sich hier.

Der exportierte gcode soll mit einer CNC Graviermaschine gezeichnet werden. 

Dafür habe ich einen Einsatz für die Spindelhalterung der Maschine gedruckt.

Dieser Einsatz kann z.B. einen Stabilo Fineliner der Stärke 0,4 mm aufnehmen, aber leider verlaufen die gezeichneten Linien auf normalem Druckerpapier. Auf Fotopapier ist das Ergebnis deutlich besser.

Für kleines Fotopapier müssen die Einstellungen der 'Drawing Area' auf 10,2 cm x 15,2 cm geändert werden.

Größere Formate lassen sich mit einem sogenannten Vertikalplotter drucken. Sie bestehen i.d.R. aus einem vertikal aufgestellten Rahmen und einer Gondel, in die der Stift geklemmt ist. Die Gondel wiederum hängt an zwei Seilen oder Zahnriemen, die durch Schrittmotoren bewegt werden. Die Zahnriemen werden mit Hilfe von Gewichten stramm gehalten. Ich habe hierfür zwei kleine Actimel Becher mit Estrichbeton ausgegossen, und mit Haken versehen. 

Mit dieser Anordnung kann der Stift alle Punkte der Zeichenebene erreichen. Die Position des Stiftes kann aus den Umdrehungen der Motoren berechnet werden. 

Die beiden Seillängen seien \(L_1\) (links) und \(L_2\) (rechts) , und \(D\) die Distanz zwischen den Motoren.  Nehmen wir an, dass der linke Motor bei \((0,0)\) sitzt, der rechte Motor bei \((D,0)\), und der Stift bei \((x,y)\) sitzt.

Dann gilt:

\[L_1 = \sqrt{x^2 + y^2}\]

\[L_2 = \sqrt{(D - x)^2 + y^2}\]

Gesucht sind nun \(x\) und \(y\). Wir lösen das Gleichungssystem, und versuchen \(y\) zu eliminieren. Es gilt:

\[L_1^2 - x^2 = L_2^2 - (D - x)^2\]

Ausmultipliziert und nach \(x\) aufgelöst ergibt sich:

\[x = \frac{L_1^2 - L_2^2 + D^2}{2D}\]

Für \(y\) ergibt sich entsprechend:

\[y = \sqrt{L_1^2 - x^2}\]

Wenn jede Rolle einen Radius \(r\) hat und sich um \(N_\text{L}\) bzw. \(N_\text{R}\) Umdrehungen gedreht hat, dann ist die abgewickelte Seillänge:

\[L_1 = L_{1,0} - 2\pi r\,N_\text{L}\]

\[L_2 = L_{2,0} - 2\pi r\,N_\text{R}\]

\(L_{1,0}\) und \(L_{2,0}\) sind dabei die Ausgangslängen der Seile bei der Home-Position des Stiftes.  

Das Programm vplotter macht diese Berechnungen, und ist auf einem Raspberry Zero 2 gut lauffähig. Die Anschlussbelegung des Raspberry ist unten zu sehen. 

Im github repository von vplotter sind die notwendigen Installationsschritte beschrieben. Auch ein rudimentärer Bauplan ist enthalten. 

Als Steppermotoren kommen zwei NEMA 17 Schrittmotoren zum Einsatz. Sie besitzen einen Vollschrittwinkel von 1.8°, eine Stromaufnahme von 1.5A pro Phase und ein Haltemoment von 0.38Nm. Als Treiber kommen je ein A4988 Schrittmotor-Treiber-Modul mit Kühlkörper zum Einsatz. Die Schrittauflösung kann durch Setzen der 'Microstepresolution' auf der Treiberplatine von 200 pro voller Umdrehung auf z.B. 1600 erhöht werden ('step of eight'). Das Bild unten zeigt die Anschlussbelegung der Motortreiberschaltung.

Dabei sind 1A und 1B die Anschlüsse für die erste Spule des Motors, 2A und 2B die für die zweite. Die Stromaufnahme habe ich mit dem kleinen Poti auf den boards auf ca. 1A begrenzt. Eine genaue Anleitung findet sich hier.

Die Befestigungen die Steppermotoren und die Umlenkrollen, sowie die Gondel für den Stift, habe ich aus PLA gedruckt. Die Gondel findet sich hier im Thingiverse

Um die 12V Versorgungsspannung für die Schrittmotoren zu erzeugen, habe ich eine kleine USB-C-PD-Triggerschaltung für Netzteile, die das USB Power Delivery Protokoll unterstützen, verbaut. Die gewünschte Spannung lässt sich mit DIP Schaltern einstellen. Zur Spannungsstabilisierung sind zusätzlich zwei 10µF Kondensatoren verbaut.

Im Bild unten ist im Hintergrund auch der auf die Gondel geklebte 9G Micro Servo Motor zu sehen, der den Stift hebt bzw. senkt. Das PWM Signal ist über einen 1k Ohm Widerstand mit dem Servomotor verbunden. 

Die gesamte Elektronik ist mit Abstandshaltern auf die Rückseite der MDF-Platte geschraubt, die die Zeichenebene bildet.

Nachdem die Hardware soweit fertig gestellt ist, habe ich zunächst versucht, einen Smiley zu plotten. Das online tool ncviewer zeigt den gcode an, und kann ihn simulieren.

Der Aufruf von vplotter für die Datei test.ngc erfolgt mit

sudo vplotter --x0=190 --y0=-230 --baselength=687 --z_up=7 --z_down=11 --steps=33 < test.ngc

Die Befehlszeilen‑Argumente haben dabei die folgenden Bedeutungen:

-- x0: Horizontale Entfernung vom linken Schrittmotor bis zum Nullpunkt der Zeichenfläche in mm.  

-- y0: Vertikale Entfernung vom linken Schrittmotor bis zum Nullpunkt der Zeichenfläche in mm.  

-- baselength: Abstand zwischen den beiden Schrittmotoren in mm.  

-- z_up: Wert für den Servomotor, um den Stift anzuheben (1 – 100).  

-- z_down: Wert für den Servomotor, um den Stift zu senken (1 – 100).  

-- steps: Anzahl der Schritte, um die Schnur um 1 mm zu bewegen. Hier:

  \[\text{steps} = \frac{1600}{\text{Umfang der Riemenscheibe}}\]

Das erste Ergebnis ist durchaus vielversprechend.

Anschließend habe ich versucht ein größeres Bild zu plotten. Ich habe dazu eine Malbuchvorlage mit Drawing Bot bearbeitet. Das Bild unten zeigt die Vorschau im ncviewer.

und während des Zeichenvorgangs. Zu erkennen sind des weiteren zusätzliche Gewichte, die ich an der Gondel angebracht habe, um sie zu stabilisieren. 

Damit liefert der Plotter recht schöne Ergebnisse, wie ich finde.

Viel Spaß beim selber basteln und plotten...

Quaternionen und Drehungen im Raum

Die Quaternionen sind ein Zahlenbereich, der den Bereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben und systematisch fortentwickelt wurden sie ab 1843 von William Rowan Hamilton. Sie werden deshalb auch Hamilton-Zahlen genannt. Hamilton war Absolvent des Trinity College in Dublin, und wurde dort im Alter von 21 Jahren zum Andrews-Professor für Astronomie gewählt, noch bevor er sein Grundstudium abgeschlossen hatte. Das Bild unten zeigt ein Porträt von Sir Hamilton, im Treppenaufgang des dortigen 'Department of Physics'.

Die folgenden Ausführungen orientieren sich an einer Vorlesung von Dr Kenneth Joy an der UC Davis (University of California).

Quaternionen erweitern den komplexen Zahlenraum ins Vierdimensionale. Der komplexen Einheit \(i\) werden die Einheiten \(j\) und \(k\) hinzugefügt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen gemäß den Regeln \(i^2=j^2=k^2=ijk=-1\) verknüpft.

Schreiben wir Quaternionen in der Form \((a,\vec{v})\), werden sie wie folgt addiert und multipliziert.

Sie sind normierbar und haben ein Inverses.

Allerdings ist die Multiplikation zweier Quaternionen nicht kommutativ,

denn \(v_2 \times v_1\) zeigt in die entgegengesetzte Richtung von \(v_1\times v_2\). Quaternionen bilden daher einen Schiefkörper, also eine algebraische Struktur, die alle Eigenschaften eines Körpers besitzt, außer dass die Multiplikation kommutativ ist.

Interessant für Anwendungen macht Quaternionen die Tatsache, dass Einheitsquaternionen Drehungen um einen Winkel \(\varphi\) entlang einer Achse \(\vec{v}\) im dreidimensionalen Raum vermitteln. Die Schreibweise als \((\cos{\varphi}, \sin{\varphi}\vec{v})\) ist dafür hilfreich.

Möchte man z.B. eine Trackball Anwendung zum Drehen eines Objekts in einem CAD Programm schreiben, so kann man sich das Objekt inmitten einer gedachten Sphäre vorstellen.

Ein 'Klick' auf die Sphäre definiert einen ersten Vektor zum Mittelpunkt, und anschließendes 'Ziehen' definiert einen zweiten Vektor. Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren bestimmt dann die Drehachse, und das Skalarprodukt der beiden Vektoren definiert den Drehwinkel. Alle relevanten Punkte des Modells können nun gemäß dem so definierten Quaternion gedreht werden.

Um einen Punkt \(p\) mit Hilfe des Quaternions \(q\) im Raum zu drehen, muss  \(p\) auf \(q\cdot p\cdot q^{-1}\) abgebildet werden. Dabei ist \(q\) ein auf Eins normiertes Einheitsquaternion. 

Um zu veranschaulichen was bei den Multiplikationen genau passiert, müssen wir uns zunächst mit dem Konzept der stereografischen Projektion vertraut machen. Die folgenden Bilder sind mithilfe eines 'explorable videos' von Ben Eater erstellt. Das Bild unten zeigt die Projektion eines Kreises auf eine eindimensionale Gerade. 

Das Projektionszentrum liegt bei \(-1\). Dadurch wird \(1\) auf \(0\), \(i\) auf \(1\), \(-i\) auf \(-1\),  und \(-1\) auf \(\pm \infty\) projiziert. Jeder Punkt auf dem Kreis wird durch die Abbildung eindeutig auf einen Punkt auf der Gerade abgebildet.

Projizieren wir eine Kugel stereographisch auf eine Ebene, so bleibt der Äquator in z-Richtung, von (-1,0,0) aus projiziert, ein Kreis. Eine Neuorientierung der Kugel soll hier zunächst mithilfe von nur drei  Komponenten in der Form \(a + bi + cj\) versucht werden. Die Projektion erfolgt in die von \(i\) und \(j\) aufgespannte Ebene.

Verkippen wir die Kugel in eine von \(i\) und \(j\) vorgegebene Richtung indem wir den Realteil \(a\) verringern, 'schiebt' der Kreis in diese Richtung und der Radius vergrößert sich, solange \(\varphi < 90°\) ist. Im Insert des Bildes unten ist dies schön zu erkennen.

Eine Verkippung um genau  90° erzeugt einen unendlich großen Radius, der in der Projektion als Gerade erscheint. Weiteres Verkippen projiziert die Kugel schließlich in den gegenüberliegende Halbebene.

Tatsächlich lässt sich die Lage eines Punktes auf der Kugeloberfläche zwar durch eine Richtung in der \(i\)-\(j\) Ebene und einem Kippwinkel beschreiben, nicht jedoch die Lage der gesamten Kugel. Da die Kugel zusätzlich um den durch die Richtung in der Ebene und den Kippwinkel definierten Vektor rotieren kann, existiert ein zusätzlicher Freiheitsgrad.  Zur Veranschaulichung habe ich im Bild oben einen der projizierter Punkte rot markiert. Lassen wir die Kugel wie in diesem Beispil um 29° rotieren, wandert auch der markierte Punkt auf dem projizierten Kreis weiter.  In diesem Sinne sind drei  Zahlen nicht ausreichend um die Lage einer Kugel im Raum zu beschreiben. 

Betrachten wir als nächstes die Projektion einer vier dimensionalen Hypersphäre. Diese Projektion wollen wir durch Multiplikation mit einem Quaternion \(q_1\) manipulieren. 

Die Einheitskugel stellt den von 4D nach 3D projizierten 'Äquator' der Hypersphäre dar. Analog zur Projektion von 3D nach 2D vergrößert sich der Radius der Kugel wenn der Realwert von \(q_1\) kleiner wird, und die Kugel 'verschiebt' sich in die Richtung, die durch \(i\), \(j\) und \(k\) vorgegeben wird. Im obigen Beispiel ist dies die \(i\)-Achse.

Zusätzlich zur Verschiebung und Vergrößerung findet jedoch eine Drehung um den durch \(i\),\(j\) und \(k\) gegebenen Vektor statt. In den Bildern oben ist die Position von \(q_1 \cdot k\) rot markiert. Von \(\varphi\) = 20° nach \(\varphi\) = 45° dreht sich die Kugel um 25° weiter. 

Eine Multiplikation mit dem inversen Quaternion \(q_2\) von rechts führt nun die Verschiebung und Vergrößerung der 'Äquatorkugel' auf die Einheitskugel zurück. Im Bild oben ist die Position von \(q_1 \cdot k \cdot q^{-1}\) erneut rot markiert. Die Kugel dreht sich allerdings bei der Multiplikation von  rechts mit \(\varphi =\) - 45° um + 45° weiter. Insgesamt hat sich die Kugel also um 2 \(\times\) 45° = 90° gedreht. Man nennt dies auch '\(4\pi\)' - Periodizität der Quaternionen.

 

Im Beispiel oben haben wir jeden Punkt auf der Einheitskugel um 90° gedreht. Allgemein gilt für Drehungen von \(\mathbf{x}=(0,\vec{x})\) um einen Winkel \(\varphi\)

\[ \mathbf{x'}= \mathbf{q} \cdot \mathbf{x} \cdot \mathbf{q^{-1}}\]

mit 

\[\mathbf{q} = \left( \cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right),\; \sin\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\vec{v} \right)\]

und 

\[\mathbf{q^{-1}} = \left( \cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right),\; -\sin\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\vec{v} \right)\]

Viel Spaß beim selber rechnen...

Der Physik Nobelpreis 2025

Der Physik-Nobelpreis 2025 würdigt drei Forscher, die ein fundamentales Kapitel der modernen Physik aufgeschlagen haben: John Clarke, Michel H. Devoret und John M. Martinis. Ihre Arbeiten beantworteten eine Frage, die lange als fast philosophisch galt: Kann ein makroskopischer Freiheitsgrad – also eine Variable, die viele Milliarden Teilchen umfasst – quantenmechanisches Verhalten zeigen? Die Grundlage dafür wurde Ende der 1970er Jahre gelegt, als Antony Leggett vorschlug, die Phasendifferenz in einem Josephson-Kontakt als makroskopische Quantengröße zu untersuchen. Ein Josephson-Kontakt besteht aus zwei supraleitenden Elektroden, getrennt durch eine extrem dünne Isolatorschicht (siehe Bild a) unten). Die Bilder dieses Artikels sind dem sehr schönen Übersichtsartikel von Hugues Pothier und Christoph Strunk in der Dezember 2025 Ausgabe des Physik Journals entnommen. Oberhalb der Übergangstemperatur tunneln einzelne Elektronen unabhängig voneinander. Unterhalb dieser Temperatur bilden sie Cooper-Paare, die gemeinsam als makroskopisches Quantenobjekt beschrieben werden können. Die Phase der makroskopischen Wellenfunktion wird dabei zur zentralen Größe.

1. Supraleitung und makroskopische Kohärenz

Die Grundlage der modernen Theorie der Supraleitung ist die BCS‑Theorie, benannt nach Bardeen, Cooper und Schrieffer. Sie beschreibt, wie Elektronen in einem Supraleiter trotz ihrer Coulomb‑Abstoßung Paare bilden können, indem sie über Gitterschwingungen effektiv anziehend wechselwirken. Diese Cooper‑Paare kondensieren in einen gemeinsamen quantenmechanischen Zustand, der durch eine makroskopische Wellenfunktion \(\Psi (r) = |\Psi | e^{i \varphi (r)}\) beschrieben wird. Die Phase \(\varphi (r)\) ist dabei nicht nur ein mathematisches Hilfsmittel, sondern eine physikalisch relevante Größe, die Ströme, Spannungen und magnetische Eigenschaften bestimmt.

Die Existenz einer makroskopischen Phase ist der Schlüssel zur Quantenelektronik. Während in einem normalen Metall die Elektronen unabhängig voneinander agieren, verhalten sich die Cooper‑Paare wie ein einziges, kohärentes Objekt. Das bedeutet, dass die Phase über makroskopische Distanzen hinweg definiert ist - Zentimeter, manchmal sogar Meter. Damit wird die Phase zu einer kollektiven Variablen, die sich prinzipiell wie ein quantenmechanisches Objekt verhalten kann.

Doch wie kann man eine solche Phase messen oder manipulieren? Die Antwort liegt im Josephson‑Kontakt.

2. Der Josephson‑Kontakt: Kopplung zweier makroskopischer Wellenfunktionen

Ein Josephson‑Kontakt besteht aus zwei Supraleitern, die durch eine extrem dünne Isolator Schicht getrennt sind (siehe Bild a) unten). Obwohl die Schicht elektrisch isolierend ist, können Cooper‑Paare durch quantenmechanisches Tunneln hindurchtreten. Brian Josephson sagte 1962 voraus, dass der Strom durch einen solchen Kontakt nicht von einer Spannung, sondern von der Phasendifferenz \( \Delta \varphi = \varphi_1 − \varphi_2\) zwischen den beiden Supraleitern abhängt. Die Josephson‑Gleichungen lauten:

\[I = I_c \cdot sin(\Delta \varphi)\]

\[d(\Delta \varphi)/dt = 2eV/\hbar\]

Diese Gleichungen verbinden Phase, Strom und Spannung auf eine Weise, die in der klassischen Elektrodynamik unmöglich wäre. Der Josephson‑Kontakt ist damit ein nichtlineares, quantenmechanisches Bauelement, das sich wie ein künstliches Atom verhält - allerdings eines, das aus Milliarden Elektronen besteht.

Die Dynamik der Phase lässt sich in einem effektiven Potential beschreiben, dem sogenannten „washboard potential“ (siehe Bild b) unten). Das Potential besitzt eine Reihe von Mulden, die durch Barrieren getrennt sind. Klassisch kann die Phase in einer Mulde oszillieren oder - wenn genügend Energie vorhanden ist — über die Barriere „flüchten“. Quantenmechanisch kann sie jedoch auch durch die Barriere tunneln (siehe Bild c) unten).

3. Antony Leggett und die Idee des makroskopischen Quantentunnelns

In den späten 1970er‑Jahren analysierte Antony Leggett die Dynamik der Phase in Josephson‑Kontakten sehr detailliert, und zeigte, dass die Phase sich wie ein quantenmechanisches Teilchen verhält, das in einem Potentialtopf gefangen ist. Die Masse dieses „Teilchens“ ist proportional zur Kapazität des Kontakts, und die Form des Potentials, also wie stark das „washboard potential“ verkippt ist, wird durch den Bias‑Strom bestimmt. Es ergeben sich Analogien zwischen den elektrischen Größen eines Josephson-Kontakts und den mechanischen Größen eines Teilchens im Potentialtopf.

Leggett sagte voraus, dass die Phase bei tiefen Temperaturen nicht mehr thermisch über die Barriere aktiviert wird, sondern quantenmechanisch tunnelt. Dieses makroskopische Quantentunneln wäre ein direkter Beweis dafür, dass ein makroskopischer Freiheitsgrad quantenmechanisch ist.
Für einen experimentellen Nachweis mussten die Temperaturen jedoch niedrig genug sein, damit thermische Aktivierung ausgeschlossen werden konnte, und gleichzeitig musste man sicherstellen, dass Rauschen in den Zuleitungen nicht fälschlicherweise wie Quantentunneln aussah.

4. Das Berkeley‑Experiment: Der erste Nachweis makroskopischer Quantenphänomene

Anfang der 1980er‑Jahre begannen John Clarke, Michel Devoret und John Martinis an der University of California, Berkeley, Leggetts Vorhersage experimentell zu überprüfen. 
Um Quantentunneln zu beobachten, musste die Temperatur weit unter 1 Kelvin liegen. Gemeinsam mit Kollegen aus Saclay baute das Team einen neuen \(^3He/^4He\) - Mischungskryostaten (siehe Bild a) unten), der Temperaturen im Millikelvin‑Bereich erreichte.

Das zentrale Experiment bestand darin, die Temperatur zu bestimmen, bei der das System vom thermischen Aktivierungsregime in das Quantentunneln übergeht. Bei endlichen Temperaturen \(T>0\) wird die Phase zu thermischen Schwingungen angeregt, und entkommt bereits bei einem kleinen Strom \(I_0\) mit einer bestimmten Fluchtrate \(\Gamma\) aus der Potentialmulde. Da es sich beim Tunneln um einen statistischen Prozess handelt, ist es erforderlich den Schaltvorgang vom supraleitenden Zustand mit \(V=0\) in einen Zustand mit \(V>0\) in Abhängigkeit des Stroms \(I_0\) durch die Barriere mehrfach zu wiederholen. Die Forscher maßen die Schaltwahrscheinlichkeit \(P\) als Funktion des Stroms \(I_0\) und der Temperatur. Der aus der Breite von \(P\) errechneten Fluchtrate kann eine 'escape' Temperatur \(T_{esc}\) zugeordnet werden. Bei hohen Temperaturen dominierte die thermische Aktivierung und \(T_{esc}\) unterscheidet sich nicht von der Temperatur um Mischerkryostaten. Bei tiefen Temperaturen wurde die Rate jedoch vom Quantentunneln dominiert, und \(T_{esc}\) ist  weitgehend unabhängig von der Außentemperatur. Das Bild b) unten ist dem Artikel M.H. Devoret, J.M. Martinis und J.Clarke, Phys. Rev. Lett. 55, 1908 (1985) entnommen und zeigt für die schwarz gefüllten Messpunkte das Sättigen von \(T_{esc}\) hinzu kleinen Temperaturen.

Ein großes experimentelles Problem der Messung war das thermische Rauschen in den Zuleitungen. Widerstände erzeugen Stromrauschen, das die Potentialmulde „vibrieren“ lässt. Diese Vibration kann die Breite der Schalt‑Histogramme sättigen - genau wie Quantentunneln. Um dies auszuschließen, entwickelten die Forscher spezielle Mikrowellenfilter, die das Rauschen drastisch reduzierten. Sie sind im Bild a) oben ganz links zu sehen.

Um sicherzugehen, dass die Sättigung nicht durch unvollständige Thermalisierung bzw. Stromrauschen verursacht wurde, reduzierten sie den kritischen Strom \(I_0\) durch ein Magnetfeld von hier 9,489µA auf 1,383µA (offene Messpunkte im Bild b) oben). Dadurch wurde die Barriere kleiner, und das System verhielt sich klassisch(er). In diesem Regime sank die Flucht‑Temperatur deutlich unter den Wert im Quantenregime. Damit war klar: Die Sättigung im ursprünglichen Fall war quantenmechanischen Ursprungs.
In einer Erweiterung des Experiments führten die Preisträger eine Mikrowellen-Spektroskopie durch, die diskrete Energieniveaus in der Potentialmulde sichtbar machte. Das Bild c) unten ist einem Artikel von J.M. Martinis, M. H. Devoret und J. Clarke in Phys. Rev. Lett. 55, 1543 (1985) entnommen.

Die Resonanzen entsprechen Übergängen zwischen quantisierten Zuständen eines makroskopischen Freiheitsgrades und stellen einen direkten experimentellen Beleg für die Quantennatur des Systems dar. Damit wurde erstmals gezeigt, dass ein elektrischer Schaltkreis Zustände einnehmen kann, die formal einem quantenmechanischen Teilchen im Potentialtopf entsprechen.

5. Weiterentwicklung supraleitender Quantenschaltkreise

Die Arbeiten der Preisträger bildeten die Grundlage für die rasante Entwicklung supraleitender Quantenschaltkreise in den folgenden Jahrzehnten. Clarke konzentrierte sich auf die Weiterentwicklung von SQUID-basierten Messinstrumenten, die in der Medizin, Geophysik und Grundlagenforschung breite Anwendung fanden.

Devoret und Martinis erforschten zunehmend Systeme, in denen Ladungsquantisierung und supraleitende Kohärenz kombiniert werden. Dies führte zu einer Reihe neuartiger Bauelemente wie Einzelelektronenboxen, Pumpen und schließlich zu den ersten supraleitenden Qubits.

Zu den wichtigsten Entwicklungen zählen:

Cooper-Paar-Box (1990er‑Jahre): Demonstration quantisierter Ladungszustände.

Quantronium (2002): Erstes Qubit mit ausreichender Kohärenz für kontrollierte Manipulationen.

Phasen- und Fluss-Qubits (2002–2003): Nutzung alternativer Freiheitsgrade wie Phasen- oder Flussüberlagerungen.

Transmon (ab 2007): Reduzierte Empfindlichkeit gegenüber Ladungsrauschen; heute Standardarchitektur.

Fluxonium (2009): Lange Kohärenzzeiten durch große Induktivitäten.

Cat-Qubits (2010er‑Jahre): Nutzung kohärenter Zustandsüberlagerungen in Mikrowellen-Kavitäten.

Parallel dazu entstand die circuit QED, die die Wechselwirkung zwischen supraleitenden Qubits und Resonatoren beschreibt und heute ein zentrales theoretisches Rahmenwerk darstellt.

Mit der Verbesserung der Kohärenzzeiten und Kopplungsmechanismen rückte die Skalierbarkeit in den Fokus. Martinis leitete ab 2014 bei Google die Entwicklung großskaliger Transmon-Prozessoren und prägte den Begriff „Quantum Advantage“. Devoret arbeitete sowohl an industriellen Projekten (Alice & Bob) als auch an theoretischen Konzepten autonomer Fehlerkorrektur, insbesondere für Cat-Qubits.

Die Arbeiten der Preisträger haben nicht nur die technologische Basis für Quantencomputer geschaffen, sondern auch neue Fragen zur Quantentheorie großer Systeme aufgeworfen. Insbesondere bleibt offen, ob sich große Qubit-Register dauerhaft kohärent verschränken lassen oder ob fundamentale Grenzen existieren.

Viel Spaß beim selber weiter recherchieren...

Potenzfunktionen und kritische Systeme

Ende des 19ten Jahrhunderts hat der italienische Ingenieur und Gelehrte Vilfredo Pareto

die Einkommensverteilung mehrerer europäischer Länder untersucht. Das Bild unten zeigt die Zahl der Menschen in England, die ein Einkommen \( X \) größer als \( x \) haben, in Abhängigkeit vom Einkommen \( x \). Damals wie heute besaßen wenige Leute sehr viel, und die meisten Leute sehr wenig. 

Die Bilder unten sind dem sehr inspirierenden YouTube Video You've (Likely) Been Playing The Game of Life Wrong von Veritasium entnommen.

Erstaunlicherweise ergab sich für alle Länder ein ähnliches Ergebnis. In doppelt logarithmischer Auftragung zeigt sich eine Gerade. Die Verteilung folgt also einer Potenzfunktion. 

\[ \text{N}(X > x) \propto \frac{1}{x^{1.5}} \]

Verteilung dieser Art wurden später als Pareto Verteilung bekannt. Anders als für eine Normalverteilung sind ihr Erwartungswert \( E \), und die Varianz \( \sigma \) der Verteilung unendlich.

Eine ähnliche Verteilung wie die der Einkommensverhältnisse in einem Land lässt sich im sogenannten Sankt‑Petersburg‑Spiel erzielen. Bei einem Einsatz von z.B. einem Dollar wird eine Münze so lange geworfen, bis zum ersten Mal 'Kopf' kommt. Der Gewinn \( x\) hängt also davon ab, wie viele Würfe \( n\) gemacht wurden:

\[x = 1 $ \cdot 2^{n-1}\]

Die Wahrscheinlichkeit \( p_n\) , dass beim \( n\) -ten Wurf  die Münze auf der Kopfseite zu liegen kommt beträgt:

 

\[p_n = \left(\frac12\right)^n\]

Um einschätzen zu können ob sich der Einsatz lohnt, betrachtet man häufig den sogenannten Erwartungswert der Verteilung, also die Summe aus Gewinnhöhe multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, diesen Gewinn zu bekommen. 

Es gilt:

\[E = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} \cdot \left(\frac12\right)^n\]

oder

\[E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac12 = \infty\]

Der Erwartungswert ist also unendlich. Man könnte also jeden noch so hohen Einsatz wagen, weil es unendlich viel zu gewinnen gibt. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit dafür jedoch sehr gering, und genau das ist als das Sankt-Petersburg-Paradoxon bekannt geworden.

Trägt man nun die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn \(x\) gegen \( x\) auf,

so ergibt sich auch in diesem Fall eine Potenzfunktion. Doppelt logarithmisch aufgetragen hat die sich ergebende Gerade eine Steigung von -1. 

Trägt man in einem Baumdiagramm die Länge eines Astes als Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl an, so erkennt man eine weitere Besonderheit. Das System scheint nicht skalierbar zu sein. Ähnlich einem Fraktal erkennen wir wenn wir in das System 'hineinzoomen' immer wieder ähnliche Strukturen.

Diese nicht Skalierbarkeit ist ein typisches Merkmal für Systeme, die sich in einem kritischen Zustand befinden bzw. darauf zubewegen. 1987 hat der dänische Physiker Ber Bak das sogenannte Sandhaufenmodel als Beispiel für ein dynamisches System mit selbstorganisierter Kritikalität entwickelt. In diesem Model werden Sandkörner aufeinander gestapelt. Stapelt man mehr al 4 Sandkörner aufeinander, so fällt der gestapelte Turm um, und die Körner arrangieren sich gleichmäßig in der Ebene.

Auf  der Homepage von Veritasium findet sich das Model zum ausprobieren. Lässt man das Sandkorn immer in der Mitte fallen, verhält sich das System zunächst unauffällig.

Es ergeben sich wie zu erwarten symmetrische Strukturen aus unterschiedlich hohen Stapeln. Mit zunehmender Dauer der Simulation kommt es jedoch immer häufiger zu einem lawinenartigen Umfallen mehrerer 'Türme'.

Die Größe der Lawinen und deren Häufigkeit folgen wieder einem Potenzgesetz. Die Grafik auf der rechten Bildschirmseite zeigt den doppelt logarithmisch aufgetragenen Zusammenhang.

Werden die Sandkörner nicht mehr mittig sondern zufällig platziert, sind auch die Cluster zufällig verteilt. 

Ähnliche Cluster werden z.B. auch durch Waldbrände erzeugt, wenn diese durch zufällig verteilte Blitzeinschläge hervorgerufen werden. Ein Model nach Drossel und Schwabl findet sich ebenfalls bei Vertiasium. 

Wie die Grafik rechts zeigt, folgen Clustergröße und Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Clustergröße erneut einem Potenzgesetz. Auch die Stärke von Erdbeben und deren Häufigkeit folgen übrigens den Potenzgesetzen.

Potenzgesetze scheinen also grundsätzlich eine ganze Klasse von kritischen Systemen, bei denen kleinste Änderungen Veränderungen auf großer Skala hervorrufen können, zu beschreiben.

Viel Spaß beim selber Rechnen und Simulieren...