Die Quaternionen sind ein Zahlenbereich, der den Bereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben und systematisch fortentwickelt wurden sie ab 1843 von William Rowan Hamilton. Sie werden deshalb auch Hamilton-Zahlen genannt. Hamilton war Absolvent des Trinity College in Dublin, und wurde dort im Alter von 21 Jahren zum Andrews-Professor für Astronomie gewählt, noch bevor er sein Grundstudium abgeschlossen hatte. Das Bild unten zeigt ein Porträt von Sir Hamilton, im Treppenaufgang des dortigen 'Department of Physics'.
Die folgenden Ausführungen orientieren sich an einer Vorlesung von Dr Kenneth Joy an der UC Davis (University of California).
Sie sind normierbar und haben ein Inverses.
Allerdings ist die Multiplikation zweier Quaternionen nicht kommutativ,
denn \(v_2 \times v_1\) zeigt in die entgegengesetzte Richtung von \(v_1\times v_2\). Quaternionen bilden daher einen Schiefkörper, also eine algebraische Struktur, die alle Eigenschaften eines Körpers besitzt, außer dass die Multiplikation kommutativ ist.
Interessant für Anwendungen macht Quaternionen die Tatsache, dass Einheitsquaternionen Drehungen um einen Winkel \(\varphi\) entlang einer Achse \(\vec{v}\) im dreidimensionalen Raum vermitteln. Die Schreibweise als \((\cos{\varphi}, \sin{\varphi}\vec{v})\) ist dafür hilfreich.
Möchte man z.B. eine Trackball Anwendung zum Drehen eines Objekts in einem CAD Programm schreiben, so kann man sich das Objekt inmitten einer gedachten Sphäre vorstellen.
Ein 'Klick' auf die Sphäre definiert einen ersten Vektor zum Mittelpunkt, und anschließendes 'Ziehen' definiert einen zweiten Vektor. Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren bestimmt dann die Drehachse, und das Skalarprodukt der beiden Vektoren definiert den Drehwinkel. Alle relevanten Punkte des Modells können nun gemäß dem so definierten Quaternion gedreht werden.
Um einen Punkt \(p\) mit Hilfe des Quaternions \(q\) im Raum zu drehen, muss \(p\) auf \(q\cdot p\cdot q^{-1}\) abgebildet werden. Dabei ist \(q\) ein auf Eins normiertes Einheitsquaternion.
Um zu veranschaulichen was bei den Multiplikationen genau passiert, müssen wir uns zunächst mit dem Konzept der stereografischen Projektion vertraut machen. Die folgenden Bilder sind mithilfe eines 'explorable videos' von Ben Eater erstellt. Das Bild unten zeigt die Projektion eines Kreises auf eine eindimensionale Gerade.
Das Projektionszentrum liegt bei \(-1\). Dadurch wird \(1\) auf \(0\), \(i\) auf \(1\), \(-i\) auf \(-1\), und \(-1\) auf \(\pm \infty\) projiziert. Jeder Punkt auf dem Kreis wird durch die Abbildung eindeutig auf einen Punkt auf der Gerade abgebildet.
Projizieren wir eine Kugel stereographisch auf eine Ebene, so bleibt der Äquator in z-Richtung, von (-1,0,0) aus projiziert, ein Kreis. Eine Neuorientierung der Kugel soll hier zunächst mithilfe von nur drei Komponenten in der Form \(a + bi + cj\) versucht werden. Die Projektion erfolgt in die von \(i\) und \(j\) aufgespannte Ebene.
Verkippen wir die Kugel in eine von \(i\) und \(j\) vorgegebene Richtung indem wir den Realteil \(a\) verringern, 'schiebt' der Kreis in diese Richtung und der Radius vergrößert sich, solange \(\varphi < 90°\) ist. Im Insert des Bildes unten ist dies schön zu erkennen.
Eine Verkippung um genau 90° erzeugt einen unendlich großen Radius, der in der Projektion als Gerade erscheint. Weiteres Verkippen projiziert die Kugel schließlich in den gegenüberliegende Halbebene.
Tatsächlich lässt sich die Lage eines Punktes auf der Kugeloberfläche zwar durch eine Richtung in der \(i\)-\(j\) Ebene und einem Kippwinkel beschreiben, nicht jedoch die Lage der gesamten Kugel. Da die Kugel zusätzlich um den durch die Richtung in der Ebene und den Kippwinkel definierten Vektor rotieren kann, existiert ein zusätzlicher Freiheitsgrad. Zur Veranschaulichung habe ich im Bild oben einen der projizierter Punkte rot markiert. Lassen wir die Kugel wie in diesem Beispil um 29° rotieren, wandert auch der markierte Punkt auf dem projizierten Kreis weiter. In diesem Sinne sind drei Zahlen nicht ausreichend um die Lage einer Kugel im Raum zu beschreiben.
Betrachten wir als nächstes die Projektion einer vier dimensionalen Hypersphäre. Diese Projektion wollen wir durch Multiplikation mit einem Quaternion \(q_1\) manipulieren.
Die Einheitskugel stellt den von 4D nach 3D projizierten 'Äquator' der Hypersphäre dar. Analog zur Projektion von 3D nach 2D vergrößert sich der Radius der Kugel wenn der Realwert von \(q_1\) kleiner wird, und die Kugel 'verschiebt' sich in die Richtung, die durch \(i\), \(j\) und \(k\) vorgegeben wird. Im obigen Beispiel ist dies die \(i\)-Achse.
Zusätzlich zur Verschiebung und Vergrößerung findet jedoch eine Drehung um den durch \(i\),\(j\) und \(k\) gegebenen Vektor statt. In den Bildern oben ist die Position von \(q_1 \cdot k\) rot markiert. Von \(\varphi\) = 20° nach \(\varphi\) = 45° dreht sich die Kugel um 25° weiter.
Eine Multiplikation mit dem inversen Quaternion \(q_2\) von rechts führt nun die Verschiebung und Vergrößerung der 'Äquatorkugel' auf die Einheitskugel zurück. Im Bild oben ist die Position von \(q_1 \cdot k \cdot q^{-1}\) erneut rot markiert. Die Kugel dreht sich allerdings bei der Multiplikation von rechts mit \(\varphi =\) - 45° um + 45° weiter. Insgesamt hat sich die Kugel also um 2 \(\times\) 45° = 90° gedreht. Man nennt dies auch '\(4\pi\)' - Periodizität der Quaternionen.
\[ \mathbf{x'}= \mathbf{q} \cdot \mathbf{x} \cdot \mathbf{q^{-1}}\]
mit
\[\mathbf{q} = \left( \cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right),\; \sin\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\vec{v} \right)\]
und
\[\mathbf{q^{-1}} = \left( \cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right),\; -\sin\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\vec{v} \right)\]
Viel Spaß beim selber rechnen...
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