Die Masse und das Higgs

Betrachten wir die Wellengleichung eines masselosen Teilchens,

so erhalten wir nach Einsetzen einer Lösung der Differentialgleichung die unterstehende, wohlbekannte Dispersionsbeziehung. Die Bilder dieses Artikels sind dem sehr lehrreichen YouTube Video 'What The Higgs Boson Actually Is' entnommen. 

Erweitern wir die Wellengleichung um den Term \(\Omega_0^2\varphi\), so erhalten wir durch Einsetzen der gleichen Lösung eine leicht unterschiedliche Beziehung zwischen \(\omega\) und \(k\).

Graphisch aufgetragen ergibt sich:

Für kleine Werte von \(k\) strebt \(\omega\) und damit die Energie des Systems nun nicht mehr gegen Null sondern gegen einen festen Wert \(\hbar\Omega_0\).

Der erhaltene Ausdruck für die Energie \(E\) weist eine erstaunliche Ähnlichkeit zu dem aus der speziellen Relativitätstheorie bekannten Zusammenhang \(E^2=(pc^2)^2 + (mc^2)^2\) auf. Wir können \(\Omega_0\) also als ein Maß für die Masse eines Teilchens interpretieren. 

Desweiteren können wir den Term \(\Omega_0^2\varphi\) als Kraft auf ein Teilchen interpretieren, die wir aus der Ableitung eines Potentials \(V\) gewinnen. Im Gegensatz zu mechanischen Systemen erfolgt die Ableitung hier jedoch nicht nach einem Ort \(x\) sondern nach der Feldstärke \(\varphi\).

Das so beschriebene System wird sich natürlicherweise im Minimum des Potentials \(V\) einfinden. Was geschieht jedoch leicht außerhalb des Minimums?

Dazu entwickeln wir das Potential \(V\) um \(\upsilon\)  und erhalten:

Da \(V'(\upsilon) = 0\) verbleibt nur die zweite Ableitung in der Entwicklung. 

Die Masse des Teilchens, das durch \(\varphi\) repräsentiert wird, ist also durch die Krümmung des Potentials an dessen Minimum bzw. am Ruhepunkt gegeben.

Ein masseloses Photon lässt sich als Grenzfall der um einen Masseterm ergänzten Wellengleichung verstehen.

Tatsächlich aber erhalten die meisten Teilchen ihre Masse nicht durch die Krümmung ihres eigenen Potentials, sondern aus der Wechselwirkung mit einem anderen Feld, dem sogenannten Higgsfeld.
Allgemein ist die Überlagerung zweier Potentiale gegeben durch:

Ein sinnvoller Ansatz für den Wechselwirkungsterm \(V_{int}\) ergibt sich für

denn \(V_{int}\) verschwindet wenn eines der beiden Felder Null ist, und die Wechselwirkung erzeugt z.B. in der \(\chi\) Gleichung eine Masseterm, wenn die Amplitude des Feldes \(\varphi\) einen Ruhepunkt \(\upsilon\) ungleich Null erreicht. 

Im Folgenden sei \(\chi\) masselos, und wir wollen \(U = 0\) setzen.

Für die Wellengleichung von \(\chi\) ergibt sich also:

und \(\chi\) hat Masse aus der Wechselwirkung mit \(V\) bezogen.

Doch wie genau soll das Potential \(V\) nun geformt sein? Ein quadratisches Potential erfüllt offensichtlich die Anforderung eines von Null unterschiedlichen Ruhepunktes nicht. Das sogenannte 'Sombrero' Potential hingegen schon.

Graphisch aufgetragen sieht dieses Potential in einer Dimension wie folgt aus:

Das Potential hat 'Ruhepunkte' bei \(\varphi=0\) und \(\varphi= \pm \frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\).

Wenn also ein masseloses Teilchen mit dem Potential des Higgs Feldes wechselwirkt, relaxiert es in ein von Null unterschiedliches Minimum und erhält Masse. Das ist der sogenannte Higgs-Mechanismus.

Doch wie steht es um die Quantisierungen des Higgsfeldes \(\varphi\)? Sind die Quanten masselos oder massebehaftet?

Dazu betrachten wir erneut die Wellengleichung von \(\varphi\)

und entwickeln um den Ruhepunkt \(\upsilon\).

Da \(\upsilon\) konstant ist, verbleiben für die ersten beiden Terme nur die Ableitungen von \(h\).

Für den dritten Term ergibt sich \(2\mu^2h + 3\lambda\upsilon h^2 + \lambda h^3\),

und für den vierten Term \(g^2\chi^2\upsilon + g^2\chi^2 h\).

 Insgesamt erhalten wir also:

Da aber \(h\) nur eine kleine Störung ist, und \(\chi\) sich nach dem Higgs-Mechanismus bei Null relaxiert, können wir Terme höherer Ordnung vernachlässigen, und es bleibt die folgende Wellengleichung.

Die Gleichung beschreibt die Dynamik kleiner Störungen um den Ruhepunkt des Higgsfeldes. Quantisieren wir diese Schwingungen erhalten wir das Higgs-Boson. Seine Masse ist näherungsweise gegeben durch

\[m_h = \frac{\hbar \sqrt{2\mu}}{c^2}\]

Im Vergleich mit den meisten anderen Elementarteilchen hat das Higgs-Boson mit etwa 125 \(GeV/c^2\) eine sehr große Masse. Um die zur Erzeugung solch schwerer Teilchen benötigte Energie aufzubringen, werden große Teilchenbeschleuniger benötigt. Zum Zeitpunkt der Vorhersage des Higgs im Jahre 1964 durch Peter Higgs standen diese noch nicht zur Verfügung. Der Nachweis erfolgte erst im Juli 2012 am CERN. Sowohl der ATLAS Detektor als auch das CMS Experiment am Large Hadron Collider 

bestätigten die Existenz des Higgs als Schulter in der Energieverteilung von Teilchen, die bei Kollision von Protonen, die annähernd auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt wurden.

Viel Spaß beim selber rechnen...