Die Maxwellgleichungen anschaulich verstehen

Die Maxwellgleichungen beschreiben die grundlegenden physikalischen Gesetze im Zusammenhang mit Elektrizität und Magnetismus. 

James Clerk Maxwell

Die mathematische Formulierung  erscheint zunächst schwierig, die Gleichungen lassen sich aber anschaulich verstehen.

\[\begin{flalign} & (1) \qquad \operatorname{div}\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ & (2) \qquad \operatorname{div} \mathbf{B} = 0 \\ & (3) \qquad \operatorname{rot} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ & (4) \qquad \operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \left(\mathbf{J} + \varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \end{flalign}\]

Bertrachten wir zunächst die erste Gleichung, das sogenannte Gaußsche Gesetz.

  \[\operatorname{div} \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\]

Die Divergenz \(\operatorname{div}\) eines Vektorfeldes \(\mathbf{E}\) ist dabei als Skalarprodukt des Nabla Operators \( \nabla = \left( \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}\right)\) mit dem Feld \(\mathbf{E}\), also als \(\nabla \cdot \mathbf{E}\) definiert.

Entfernen wir uns im zwei dimensionalen Raum einen kleinen Schritt von der Position \(\left(x_0,y_0\right)\), so zeigt das Vektorfeld in der Regel in eine andere Richtung. Der rote Vektor im Bild oben ist der Differenzvektor.

Betrachten wir alle Differenzvektoren in der Umgebung von \(\left(x_0,y_0\right)\), und mitteln über die Skalarprodukte aus Abstandsvektor und Differenzvektor, so ergibt sich im Grenzübergang zu sehr kleinen Abständen \(\left( \partial / \partial x, \partial / \partial y\right) \cdot \left(E_x, E_y\right) \). Da sich das Skalarprodukt aus dem Produkt der Beträge der Vektoren mal dem Cosinus des Zwischenwinkels errechnet, wird es maximal wenn Abstandsvektor und Differenzvektor in die gleiche Richtung zeigen. Der Ausdruck \(\nabla\cdot \mathbf{E}\) beschreibt also wieviel 'Feld' aus dem Punkt \(\left(x_0,y_0\right)\) gemittelt über alle Richtungen 'herausfließt'. Das Gaußsche Gesetzt sagt nun, dass die 'Menge des herausfließenden elektrischen Feldes' proportional zur Punktladungsdichte ist. Punktladungen sind also die Quellen und Senken des elektrischen Feldes.

Die zweite Gleichung 

\[\operatorname{div} \mathbf{B} = 0\]

wird häufig auch als Gaußsches Gesetz des Magnetismus bezeichnet. Die Divergenz der magnetischen Flussdichte \(\mathbf{B}\) ist Null. Es gibt keine Quellen oder Senken, d.h. keine magnetischen Monopole, die analog zu elektrostatischen Ladungen wirken würden. Das magnetische Feld verhält sich wie eine nicht komprimierbare Flüssigkeit. 

Die dritte Gleichung

   \[\operatorname{rot} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\]

wird als Faradaysches Induktionsgesetzt bezeichnet.

Als Rotation \(\operatorname{rot}\) des Vektorfeldes \(\mathbf{E}\) bezeichnet man dabei das Vektorprodukt des Nabla Operators \( \nabla = \left( \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}\right)\) mit dem Feld \(\mathbf{E}\), also \(\nabla \times \mathbf{E}\).

Im Gegensatz zum Skalarprodukt, ist das Vektorprodukt ein Maß dafür, ob zwei Vektoren zu einander senkrecht stehen. Sein Betrag errechnet sich als Produkt der Beträge, mal dem Sinus des Zwischenwinkels. Der Betrag des Vektorprodukts wird also für einen Zwischenwinkel von 90° maximal. Betrachten wir wieder die Differenzvektoren in einigem Abstand von \(\left(x_0,y_0\right)\), so entspricht die Rotation \(\operatorname{rot}\) dem Grenzwert des Mittelwertes aus Abstandsvektoren \(\times\) Differenzvektoren für kleine Abstände im Übergang zum Punkt \(\left(x_0,y_0\right)\). Das Induktionsgesetz besagt nun, dass eine zeitliche Änderung des Magnetfeldes bzw. der magnetischen Flussdichte zu einer Rotation des elektrischen Feldes führt. Anders ausgedrückt resultiert also die zeitliche Änderung des durch eine Leiterschleife eingeschlossenen magnetischen Flusses in einer Spannung an den Enden der Leiterschleife. Die induzierte Spannung wirkt der Änderung entgegen. Das Bild unten von Michael Lenz veranschaulicht dies.

Die vierte Gleichung

\[ \operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \left(\mathbf{J} + \varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \]

wird als Ampèresches Gesetz mit Maxwells Ergänzung bezeichnet. Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung besagt, dass die Rotation des Magnetfeldes bzw. die magnetische Flußdichte \( \mathbf{B}\) proportional zum elektrischen Stromfluss bzw. der Stromdichte \( \mathbf{J}\) ist. Ist das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) zeitlich konstant, können wir den zweiten Term vernachlässigen. Für einen von Gleichstrom durchflossenen Leiter gilt also das untenstehende Bild.

Ändert sich das elektrische Feld \(\mathbf{E}\), ist die Rotation zusätzlich proportional zur zeitlichen Änderung des elektrischen Feldes. Diese Änderung wird häufig auch Verschiebungsstrom genannt, und stellt die sogenannte Maxwell Ergänzung dar.

Aus der Maxwell Ergänzung im Wechselstromfall

\[ \operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \left(\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \]

lässt sich durch erneutes Anwenden des Rotationoperators recht einfach die Wellengleichung

$$\Delta \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $$

herleiten, \(\Delta\) bezeichnet dabei den sogenannten Laplace Operator. Eine Lösung dieser Differentialgleichung sind ebene Wellen der Form

$$\mathbf{E} = E_0 f(k \cdot \mathbf{x} - ct)$$

Sie beschreiben die Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle im Raum.

Viel Spaß beim selber Rechnen und Verstehen...