Die Fourier-Transformation hat vielerlei Anwendungen in der Mathematik, den Ingenieurswissenschaften und in der Physik. Insbesondere in der Quantenmechanik vermittelt sie zwischen dem sogenannten Ortsraum eines Systems und dem Impulsraum. In ihren Eigenschaften kommt unter Anderem die Unschärfe zwischen Ort und Impuls eines quantenmechanischen Teilchens zum Ausdruck.
Dabei bezeichnet V(r) das Potential in dem sich das Teilchen bewegt,
Aus dieser Darstellung wird unmittelbar ersichtlich, dass der Operator für den Impuls sinnvollerweise als
definiert werden kann. Wenden wir den Operator z.B. auf eine gebundene Kreisbewegung in der komplexen Zahlenebene an, dann gilt
und daraus folgt
Allgemein lässt sich jede Wellenfunktion
Die Fourierreihe lautet:
Dabei haben wir uns der Eulerschen Formel
Als Nächstes integrieren wir beide Seiten dieser Gleichung über den Umfang eines Kreises.
Der kompliziert erscheinende Ausdruck lässt sich deutlich vereinfachen, denn es gilt
und daraus folgt
Die Koeffizienten
Für
und im Grenzfall
Die 'Koeffizientenfunktion'
Die Gleichungen (1) und (2) bilden die weithin bekannte Fouriertransformation. Durch die Symmetrie der Gleichungen wird die Äquivalenz der Darstellung einer Wellenfunktion
Inwiefern darin auch die Unschärfebeziehung zwischen Impuls und Ort zum Ausdruck kommt, möchte ich anhand eines Beispiels zeigen. Die Wellenfunktion
Da in der Quantenmechanik die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens durch
Setzt man
Grafisch lässt sich das als gedämpfte Schwingung mit einem Maximum am Ort 0 darstellen.
Lokalisieren wir das Teilchen im Ortsraum weniger stark und vergrößern a, dann verkleinert sich die Periode der Schwingung, und es bildet sich im k-Raum ein starker Peak um 0 aus. Ein sehr kleines Intervall von k Werten kann also mit hoher Wahrscheinlichkeit beobachtet werden.
Wenn wir das Teilchen im Ortsraum sehr stark lokalisieren und a sehr klein machen, wird
Die Wellenfunktion ist über den gesamten k-Raum verschmiert. Es lässt sich kein einzelner k-Wert finden, der sich durch ein großes
Der Vollständigkeit halber sei zum Abschluss noch erwähnt, dass das Prinzip der Unschärfe natürlich für alle physikalischen Größen und deren Fouriertransformierte gilt. Die Unschärfebeziehung ist also keine Eigenschaft der Quantenmechanik sondern findet sich auch in anderen Bereichen wie z.B der Signalverarbeitung wieder. Bedingt durch die Unschärfebeziehung ist es z.B. nicht möglich das genaue Frequenzspektrum eines Signals zu einem bestimmten Zeitpunkt zu messen.
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