1911 beschrieb Ernest Rutherfort in dem nach ihm benannten Model erstmals das Atom als einen außerordentlich kleinen, positiv geladenen Atomkern, der fast die ganze Masse des Atoms besitzt, und von einer leichten Atomhülle aus negativ geladenen Elektronen umgeben ist. Im klassischen Sinne können negativ geladene Teilchen jedoch nicht auf festen Bahnen um den positiv geladenen Kern kreisen, da beschleunigte bzw. aus ihrer geradlinigen Flugbahn abgelenkte Ladungsträger gemäß der Larmor Formel Energie abstrahlen. Die Elektronen würden innerhalb von einigen Pikosekunden in den Kern stürzen. Die folgenden Bilder sind dem sehr inspirierenden YouTube Video Particle Physics 2 von Dr Physics A entnommen.
Gemäß Einsteins berühmten Formeln kann jedem Teilchen mit bestimmter Energie \(E\) eine Materiewelle bestimmter Frequenz \(f\) und Wellenlänge \(\lambda\) zugeordnet werden. Es gilt:
\[E = mc^2\]
und
\[p = \frac{E}{c^2}\,c = \frac{E}{c} = \frac{hf}{c} = \frac{h}{\lambda}\]
Betrachtet man ein Elektron als einen geschlossenen Materiewellenzug um den Kern, ergibt sich, dass Impuls \(p\) und Drehmoment \(p\cdot r\), und damit letztlich auch die Energieniveaus des Elektrons im Atom quantisiert sind. Das bedeutet, dass die Elektronen ihre Bahnen nur durch Anregung von außen verlassen können.
Ein weiteres Problem einfacher Atommodelle wie dem von Rutherford liegt darin, dass die im Kern vereinten positiven Ladungsträger sich gegenseitig abstoßen würden. Tatsächlich wirkt der elektromagnetischen Wechselwirkung die sogenannte starke Wechselwirkung entgegen und sorgt dafür das der aus Protonen und Neutronen zusammengesetzte Kern stabil bleibt. Die starke Wechselwirkung wird wie die elektromagnetische Wechselwirkung durch den Austausch von Eichbosonen vermittelt. Im Fall der elekromagnetischen Wechselwirkung wird die abstoßende Kraft durch ein virtuelles Gamma-Teilchen bzw. Photon als Eichboson vermittelt. Im sogenannten Fynman Diagramm sieht die Abstoßung zweier Elektronen wie folgt aus:
Dabei wird nach rechts schematisch der Ort, und nach oben die Zeit aufgetragen. Das Gamma-Teilchen entsteht dabei quasi aus dem 'Nichts'. Die Theorie, die dieses 'Entstehen aus dem Nichts' zu erklären versucht, nennt sich Quantenfeldtheorie.
In der Quantenfeldtheorie wird jedem Teilchen ein Feld zugeordnet. Lokale Anregung dieses Feldes führt z.B. zur Bildung eines virtuellen Photons, das entsteht und wieder verschwindet, oder zur Bildung eines länger existierenden Teilchens.
Auch z.B. die Kernreaktionen in der Sonne lassen sich mit Hilfe der Quantenfeldtheorie beschreiben. In unserer Sonne werden bekanntlich Wasserstoffkerne d.h. Protonen zu Neutronen umgewandelt. Die so entstandenen Neutronen fusionieren unter Druck und Hitze anschließend mit anderen Protonen, und so entstehen letztlich aus zwei Protonen und zwei Neutronen unter Abgabe von viel Energie Heliumkerne d.h. Alpha-Teilchen.
Die Umwandlung von Protonen in Neutronen lässt sich wie folgt darstellen.
Dabei wird unter Vermittlung eines W+ Bosons auch ein Positron und ein Elektronneutrino entsandt. Das ist insofern bemerkenswert, da das W+ Boson ca. 80 mal schwerer als ein Neutron ist. So wie es in der Quantenmechanik eine Unschärfe zwischen Ort und Impuls gibt, existiert auch eine Unschärfe zwischen Energie und Zeit. Die Bildung des W+ Bosons ist daher möglich, wenn das W+ Teilchen nur für kurze Zeit existiert. Es gilt:
\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar / 2\]
und
\[\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar / 2\]
Soweit zur Begriffsbildung. Doch wie lässt sich das alles mathematisch ausdrücken? Dazu greifen wir zunächst auf das Konzept des harmonischen Oszillators zurück. Der Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators lautet bekanntermaßen in Operatorschreibweise:
\[\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}k\hat{x}^2\]
Dabei steht \(k\) für die Federkonstante. Mit \(\omega = \sqrt{k/m}\) und \( m = 1\) gilt unter Vernachlässigung der \(\hat{\quad}\) Operatorzeichen:
\[H = \frac{1}{2} \left( \rho^2 + \omega^2 x^2 \right)\]
Nun können wir sogenannte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren \(a^+\) und \(a^-\)definieren.
\[H = \frac{1}{2}(p + i\omega x)(p - i\omega x)\]
\[a^+ = \frac{p + i\omega x}{\sqrt{2\omega}} \qquad a^- = \frac{p - i\omega x}{\sqrt{2\omega}} \]
Die beiden Operatoren \(a^+\) und \(a^-\) vertauschen nicht. Es gilt:
\[ [a^+,a^-]= -1 \]
\(a^+\) erhöht den Grundzustand um \(\hbar \omega\) und \(a^-\) erniedrigt ihn. Der erste angeregte Zustand wird durch \(a^-\) in den sogenannten Vakuumzustand \(\ket{0}\) überführt. Den Vakuumzustand verstehen wir im folgenden als das nicht angeregte 'Feld'.
Für den hier betrachten Fall einer bosonischen Kletteropertion gilt:
\[a^{+}\left|n\right\rangle =\sqrt{n+1}\left|n+1\right\rangle \]
\[a^{-}\,\left|n\right\rangle =\sqrt{n}\left|n-1\right\rangle \]
Ähnlich zur Bildung eines Zustands \(\Psi(x) = \sum_{k} \alpha(k)\, e^{ikx}\) als gewichtete Summe von Oszillationen mit unterschiedlichem Impuls \(k\), und dem entsprechenden komplex konjugierten Zustand \(\Psi^{*}(x) = \sum_{k} \alpha^{*}(k)\, e^{-ikx}\), lässt sich auch ein Feldoperator \(\Psi(x) = \sum_{k} a^{-}(k)\, e^{ikx}\), und der entsprechende hermitsch konjugierte Operator \(\psi^{\dagger}(x) = \sum_{k} a^{+}(k)\, e^{-ikx}\), als Summe von Oszillationen mit unterschiedlichem \(k\) darstellen. Die Summe ist mit Operatoren \(a^-\) bzw. \(a^+\) in Abhängigkeit von \(k\) gewichtet sind. Es gilt:
\[a^{+}(k)\,\lvert 0 \rangle = \lvert k \rangle\]
\[a^{-}(k)\,\lvert k \rangle = \lvert 0 \rangle\]
Um das Feld 'anregen' zu können, muss dem Operator zusätzlich eine Zeitabhängigkeit bzw. eine Oszillation in der Zeit hinzufügt werden. Die geschieht indem wir
\[\psi^{\dagger}(x,t) = \sum_{k} a^{+}(k)\, e^{-i(kx-\omega t)}\]
\[\psi(x,t) = \sum_{k} a^{-}(k)\, e^{i(kx-\omega t)}\]
definieren. \(\Psi^{\dagger}\) ist nun also der Feld erzeugende Operator, und \(\Psi\) der Vernichtungsoperator.
Betrachten wir nun das Raumzeitdiagram der Streuung eines Teilchens vom Zustand \(\ket{k_i}\) in den Zustand \(\ket{k_f}\).
Am Ort \(x=0\) wird das Teilchen mit Wellenzahl \(k_i\) vernichtet, und ein Teilchen mit Wellenzahl \(k_f\) wird erzeugt. Wir können das wie folgt schreiben:
\[\psi^{\dagger}\,\psi\,\lvert k_i\rangle \;\Rightarrow\; \lvert k_f\rangle\]
\[\bra{k_f}g \int dt \sum_k a^+(k)\, e^{-i(kx - \omega t)} \sum_k a^-(k)\, e^{+i(kx - \omega t)}\ket{k_i}\]
Dabei ist \(g\) eine Koppelkonstante. Am Ort \(x=0\) läuft der Vernichter \(a^-\) so lange über alle \(k\) bis nur noch der Vakuumzustand \(\ket{0}\) übrig bleibt. \(\Psi^\dagger\) auf den bra-Vektor \(\bra{k_f}\) angewandt fungiert ebenfalls Vernichter und erzeugt den bra-Vakuumzustand \(\bra{0}\). Es verbleibt das Integral über die Zeit.
\[\langle 0 \lvert \int dt\, e^{i(\omega_f - \omega_i)t} \rvert 0 \rangle\]
Der Integrand dieses Ausdrucks ist Eins wenn \(\omega_f=\omega_i\) ist, und Null sonst, weil über volle Perioden integriert wird. Da \(\int 1 dt = t \) ist, wächst die Wahrscheinlichkeit für den Zustand \(\ket{k_f}\) je länger man wartet. Ein Wert > 0 ergibt sich jedoch nur, wenn \(\omega_f = \omega_i\) ist. Damit ist gezeigt, dass die Energie bei der hier betrachteten elastischen Streuung erhalten bleibt.
Ähnlich können wir den Zerfall eines Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t=0\) darstellen.
Der Zerfall kann überall im Raum stattfinden, daher wird über \(dx\) integriert. Die Terme \(\omega t\) in den Exponenten entfallen für \(t=0\). Es bleibt:
\[ \bra{k_2, k_3} \int dx, \sum_k a^+(k) e^{ikx} \sum_k a^+(k) e^{-ikx} \sum_k a^-(k) e^{-ikx}\ket{k_1} \]
bzw.
\[\langle 0 \lvert \int dx\, e^{-i(k_1 - k_2 -K_3)x} \rvert 0 \rangle\]
Ähnlich wie im Beispiel der Streuung wird der Integrand nur für \(k_1=k_2+k_3\) Eins und ist sonst Null. Der Impuls bleibt also erhalten. Die Wahrscheinlichkeit des Zerfalls hängt von der Größe des betrachteten Raums ab.
Im Folgenden wollen wir auch noch die sogenannten Diracgleichungen, also die Wellengleichungen quantenmechanischer Teilchen herleiten. Dazu müssen wir uns kurz daran erinnern, dass alle Elementarteilchen entweder Fermionen oder Bosonen sind. Für Fermionen gilt das Pauli-Ausschlußprinzip, dass also nur jeweils ein Teilchen in einem bestimmten Zustand sein kann. Liegt ein System mit diskreten Energieniveaus vor, können diese deshalb nur nacheinander aufgefüllt werden.
Unterhalb der sogenannten Fermi-Energie bildet sich also ein See aus Fermionen mit unterschiedlichen Impulsen.
Leiten wir die Wellenfunktion \(\psi = e^{i(kx - \omega t)}\) eines masselosen Photons nach der Zeit ab, ergibt sich:
\[\frac{d\psi}{dt} = -i\omega\, \psi\]
Leiten wir sie nach dem Ort ab ergibt sich:
\[\frac{d\psi}{dx} = ik\, \psi\]
Es gilt also:
\[\frac{d\psi}{dx}\frac{1}{-i\omega} = \frac{d\psi}{dx}\frac{1}{ik}\]
Mit \( v=\omega/k\) ergibt sich die Wellengleichung in einer Dimension.
\[\frac{d\psi}{dt} = -\frac{\omega}{k} \frac{d\psi}{dx} = -v \frac{d\psi}{dx}\]
Statt
\[\frac{d\psi_R}{dt} = -v\, \frac{d\psi_R}{dx}\]
ergibt sich nun
\[\frac{d\psi_L}{dt} = +v\, \frac{d\psi_L}{dx}\]
Die Geschwindigkeit der Welle kann also \(+ v\) oder \(- v\) sein. Trägt man die sogenannte Dispersionsrelation auf, ergibt sich folgendes Bild.
Entsprechend einem Vorschlag von Paul Dirac sind hier die beiden Äste der Dispersionsrelation hin zu negativen \(\omega\) bzw. Energiewerten erweitert. Dirac postulierte nämlich, dass durch Anregung des Vakuumzustandes nur deshalb positive Energiezustände entstehen, weil alle negativen Energiezustände bereits aufgefüllt sind. Seine Vermutung war, dass z.B. bei der Entstehung eines Elektrons auch ein effektiv positiv geladenes 'Positron' aus dem mit Elektronen gefüllten Fermi-See negativer Energiewerte entstehen müsste.
Tatsächlich wurde das Positron 1932 erstmals experimentell nachgewiesen. Carl David Anderson entdeckte es als Spur in einer Wilson-Nebelkammer, die zwar in einem externen Magnetfeld den Krümmungsradius eines Elektrons aufwies, aber in die 'falsche' Richtung gekrümmt war. Das Bild unten zeigt die die in Phys. Rev. 43, 381A (1933) erschienene Originalaufnahme.
Die bisher abgeleitete Diracgleichung gilt für masselose Teilchen wie Photonen. Im folgenden möchten wir sie für massebehaftete Teilchen herleiten. Dafür betrachten wir die bisher erarbeitete Dirac Gleichung noch einmal in Matrixschreibweise.
\[i \begin{pmatrix} \dot{\psi_R} \\ \dot{\psi_L} \end{pmatrix}= -i v \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_R ' \\ \psi_L ' \end{pmatrix}\]
Setzen wir die photonischen Wellenfunktionen \(\psi_R\) für eine nach rechts laufende und \(\psi_L\) für eine nach links laufende Welle ein, ergibt sich:
\[i\begin{pmatrix}-i\omega\, \psi_R \\+i\omega\, \psi_L\end{pmatrix}=-i\alpha\begin{pmatrix}ik\, \psi_R \\ ik\, \psi_L\end{pmatrix} \quad \text{mit} \quad v=1 \quad \text{und} \quad \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Es gilt also:
\[\omega = \pm \alpha k \quad \text{bzw.} \quad \omega^2 = \alpha^2 k^2\]
Dies ist der Ausgangspunkt für die Betrachtung sein, was 'Masse' eigentlich ist. Aus der speziellen Relativitätstheorie wissen wir:
\[E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}\]
bzw.
\[E = \sqrt{p^2 + m^2} \quad \text{mit} \quad c=1\]
oder
\[E = \sqrt{k^2 + m^2} \quad \text{mit} \quad p = \hbar k \quad \text{und} \quad \hbar =1 \]
Es gilt also:
\[\omega = \sqrt{k^2 + m^2} \quad \text{mit}\quad E = \hbar \omega \quad \text{und} \quad \hbar =1\]
oder
\[\omega^2 = k^2 + m^2\]
Dieser Term für \(\omega^2\) stimmt mit dem vorher für masselose Teilchen berechneten Ausdruck nur für \(m=0\) überein. Um die beiden Ausdrücke für \(\omega^2\) zur Übereinstimmung zu bringen führen wir eine zusätzliche Matrix \(\beta\) ein, die es im Folgenden näher zu bestimmt gilt.
Sei also
\[\omega = \alpha k + \beta m\]
dann ist
\[\omega^2 = \alpha^2 k^2 + \beta^2 m^2 + k_m (\alpha \beta + \beta k)\]
und es müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
\[\alpha^2 = 1 \qquad \beta^2 = 1 \qquad \alpha \beta + \beta k = 0\]
Für
\[\beta=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}\]
ist dies erfüllt, wie sich durch einige einfache Rechnungen bestätigen lässt.
\[\alpha^2 =\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= I\]
\[\beta^2 =\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}= I\]
\[\alpha\beta + \beta\alpha =\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = 0\]
Die komplette Diracgleichung lautet also
\[i \begin{pmatrix} \dot{\psi_R} \\ \dot{\psi_L} \end{pmatrix}= -i v \alpha \begin{pmatrix} \psi_R ' \\ \psi_L ' \end{pmatrix}+ m \beta \begin{pmatrix} \psi_R \\ \psi_L \end{pmatrix}\]
und die zwei daraus resultierenden Differentialgleichungen lauten explizit:
\[i \dot{\psi}_R = -i v \frac{d\psi_R}{dx} + m \psi_L \]
\[i \dot{\psi}_L = +i v \frac{d\psi_L}{dx} + m \psi_R \]
Bemerkenswert daran ist, dass die Masse eines nach rechts laufenden Teilchens durch einen nach links laufenden Zustand bestimmt wird. Das ist der Ausgangspunkt für die Formulierung des sogenannten Higgs-Feldes und des Higgs-Bosons für dessen Voraussage und Entdeckung der Nobelpreis in Physik 2013 vergeben wurde.
\[\begin{align}\omega &= \alpha_x k_x + \alpha_y k_y + \alpha_z k_z + \beta m \\ k^2 &= k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \\ \omega^2 &= k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 + m^2 \end{align}\]
Ausmultipliziert ergibt sich:
\[\omega^2 = \alpha_{x}^2 k_x^2 + \kappa_y^2 k_y^2 + \alpha_z^2 k_z^2 + \beta^2 m^2 + ...\]
In dem Ausdruck oben sind zwölf weitere Mischterme durch ... repräsentiert. Es muss
\[\alpha_x^2 = 1 \quad \alpha_y^2 = 1 \quad \kappa_z^2 = 1 \quad \beta^2 = 1\]
gelten, und die weiteren Mischterme müssen Null sein. Erfüllt wird dies durch die folgende 4x4 Matrix
\[ \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}\]
für \(\beta\) und die folgenden Matrizen
\[ \alpha_x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ -\sigma_x & 0 \end{pmatrix}\]
\[ \alpha_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 &0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_y \\ -\sigma_y & 0 \end{pmatrix}\]
\[ \alpha_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_z \\ -\sigma_z & 0 \end{pmatrix}\]
\[ \beta = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \]\[ \beta = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \]
für \(\alpha\). Dabei sind \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) und \(\sigma_z\) die sogenannten Pauli-Matrizen. In ganzer Schönheit lautete die Diracgleichung in drei Dimensionen also
\[
i \frac{d\Psi}{dt} = -i v \alpha_j \frac{d\Psi}{dx} + \beta m \Psi \]
Viel Spaß beim selber Rechnen...
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