Den Rubik's Cube Würfel lösen

Bereits 1980 erschien in der Bild der Wissenschaft ein Artikel, der beschreibt, wie der Rubik's Cube™ Würfel gelöst werden kann. 

Die möglichen Bewegungen der Teilwürfel bilden eine mathematische Gruppe, die zwar nicht abelsch ist, aber Elemente aufweist die kommutativ sind, weil sie sich nur auf Teilbereiche des Würfels auswirken. Darauf beruht das vorgestellte Lösungsverfahren. Tatsächlich gibt es einige Bewegungsabfolgen die sich nur auf einen Baustein auswirken und den Rest des Würfels unverändert lassen. Im Bild unten sind die wesentlichen Schritte der im Artikel vorgestellten Lösung dargestellt.

\(O\) bedeutet dabei eine Vierteldrehung des oberen Bandes im Uhrzeigersinn, \(U\) eine Drehung des unteren Bandes, \(V\) eine Drehung vorn, \(H\) hinten, \(R\) rechts und \(L\) links. \(O^{-1}\), \(U^{-1}\), \(V^{-1}\), \(H^{-1}\), \(R^{-1}\), \(L^{-1}\) bedeuten Drehungen gegen den Uhrzeigersinn.   

Zuerst bewegen wir die Steine in der Mitte einer Würfelseite so, dass sich die Farben an dem zugrunde liegenden Netzansicht orientieren. 

Das Ordnungsverfahren ist so konzipiert, dass zunächst das untere Band des Würfels gelöst wird. Wir wählen eine, im Bild oben gestrichelt markierte, Kante. Der farblich richtige Baustein wird dann zunächst in die Position \(KL\), \(KO\), \(KR\) oder \(K4\) gebracht.

 

Dabei gilt es zu beachten, dass das Mittenband nicht verdreht werden darf, denn die seitlichen Farben der gesuchten Kante müssen mit den angrenzenden Seitenmitten übereinstimmen. Mit den im Bild genannten Transformationen \((KL): V^{-1}\), \((KO): V^2\), \((KR): V\) oder \((K4): R^{-1}VR\) wird der Baustein aus der entsprechenden Position an den gestrichelt markierten Platz gebracht. 

Nachdem alle 4 Kanten passen, wird eine gesuchte Ecke in die Position rechts vorne gebracht und je nach Lage der Bodenfarbe entweder mit den Zügen \((EV): V^{-1}O^{-1}V\), \((ER): ROR^{-1}\) oder \((EO): V^{-1}OVRO^2R^{-1}\) nach unten befördert.

Nachdem das untere Band gelöst ist, bleibt es fest.

Nun wird das mittlere Band gelöst. Die benötigten Seitenkanten befinden sich entweder im oberen Band oder an der falschen Stelle des mittleren Bandes. Befindet sich die benötigte Seitenkante im oberen Band wird sie entweder direkt in die Position für Bewegung \((B1): ORO^{-1}R^{-1}O{-1}V^{-1}OV\) oder in die Position für \((B2): O^{-1}L^{-1}OLOVO^{-1}V^{-1}\) gebracht. 

Durch die Bewegung \(B1\) wird die Kante nach rechts gedreht, und durch die Bewegung \(B2\) nach links. Die im Artikelausschnitt oben grau eingezeichnete Teilfläche, auf die keine Pfeile verweisen, ist etwas irreführend. Die Bewegungen müssen relativ zur eingezeichneten benachbarten Würfelfläche ausgeführt werden, in deren Ebene die benötigte Seitenkante gedreht werden muss. Befindet sich die benötigte Kante im mittleren Band, wird sie mit Bewegung \(B1\) oder \(B2\) zunächst nach oben befördert, bevor die bereits erwähnten Schritte ausgeführt werden.

Dann muss die Oberseite gelöst werden. Zunächst werden die Kanten der Oberseite an die richtige Position gebracht. Die Orientierung der Teilwürfelstücke kann vorerst vernachlässigt werden. Die Bewegung \((PK1): OVROR^{-1}O^{-1}V{-1}\) tauscht benachbarte Kanten, dreht aber zusätzlich die Ecken der Oberseite. Daher muss die Kantenpositionierung vor der Eckdrehung erfolgen. 

Auch eine zyklische Vertauschung der Kanten der Oberseite ist z.B. mit der Bewegung \((PK2): SOS^{-1}O^2SOS^{-1}\) möglich. Dabei bedeutet \(S\) eine Drehung der senkrechten Mittelscheibe.

Anschließend werden die Ecken in Position gebracht. Mit Bewegung \((PE1): VUV^2U^2V^2U^{-1}V^{-1}\) können die beiden vorderen Ecken vertauscht werden. Dieser Zug ist jedoch ein Zug mit Ordnung 2. Einmal ausgeführt verändert er den unteren Teil des Würfels. Es muss also ein weiteres Eckenpaar nach 'vorne' gedreht, und vertauscht werden, um den unteren Teil wieder richtig zu stellen. Ach die Ecken können, wie im Bild oben gezeigt, mit der Bewegung \((PE2): LO^{-1}R^{1}OL^{-1}O^{-1}RO\) entgegen dem Uhrzeigersinn bzw. mit \((PE3): O^{-1}R^{-1}OLO^{-1}ROL^{-1}\) im Uhrzeigersinn zyklisch vertauscht werden.

Dann müssen die Kanten richtig orientiert werden. Die Kanten lassen sich mit der Bewegung \((OK1): (VB)^4\) drehen. \(B\) bezeichnet hierbei eine Drehung des mittleren horizontalen Bandes. Auch hier gilt es zu beachten, dass die Drehung die Ordnung 2 hat.

Sind alle Kanten richtig orientiert, wird die Orientierung der Ecken in Angriff genommen. Die Bewegung \((OE1): (RV^{-1}R^{-1}V)^2\) bewirkt eine Drehung der Ecke rechts vorn. Diese Drehung hat die Ordnung 3. Sie muss also drei mal ausgeführt werden um den Würfel wieder vollständig herzustellen.

Tatsächlich lässt sich beweisen, dass das vorgestellte Ordnungsverfahren immer zum Ziel führt. Angesichts der vielen Möglichkeiten den Würfel zu konfigurieren ein erstaunliches Ergebnis. Tatsächlich gibt es für die Positionierung der 8 Ecken \(8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 8!\) Möglichkeiten, für die 12 Kanten entsprechend \(12!\). Für die Orientierung der Ecken gibt es \(3^8\) Möglichkeiten weil die Ecke 3 Farben besitzt, für die Seiten \(2^{12}\) weil sie 2 Farben haben.  Daraus ergeben sich \(3^8\cdot 2^{12}\cdot 12!\cdot 8!\) Möglichkeiten. Es sind jedoch nicht alle Permutationen erlaubt. Positionierungen sind gerade Permutationen, und aus Paritätsgründen sind nur ein Drittel der Eckorientierungen und die Hälfe der Kantenorientierungen möglich. Insgesamt ergibt sich die enorme Zahl von

\[ \frac{12!\cdot 8!}{2}\cdot\frac{3^8}{3}\cdot\frac{2^{12}}{2}= \]

43 252 003 274 489 856 000, also mehr als 43 Trillionen Möglichkeiten.

Im Juli 2010 hat Tomas Rokicki zusammen mit Herbert Kociemba, Morley Davidson und John Dethridge bewiesen, dass mit 'moderneren' Algorithmen nie mehr als 20 Züge notwendig sind um den Würfel in seinen Ausgangszustand zu versetzen. Zwischenzeitlich sind sogar web basierte Tools wie der Online Rubik's Cube Solver vorhanden um den Würfel rasch zu lösen. Diese Tools basieren in der Regel auf  dem Algorithmus von Herbert Kociemba's Cube Explorer, einem bekannten Open-Source-Programm. Das Github Repository findet sich hier.

In der Netzansicht des Online Solvers werden die Farben gemäß der Ausgangskonfiguration des Würfels gesetzt.

Nach einigen Sekunden Rechendauer wird der notwendige Bewegungsablauf dann z.B. auch graphisch dargestellt.

Ein ausführliches YouTube Tutorial wie das Tool bedient wird findet sich hier. Tatsächlich funktioniert der Algorithmus. Das Bild unten zeigt den Würfel abschließend vor und nach der Anwendung.

Viel Spaß beim selber Knobeln...