Lassen sich Bauklötzchen, die an einer Tischkante gestapelt werden, unendlich weit in den Raum hinein bauen? Die Frage ist durchaus interessant. Die überraschende Antwort lautet: ja, die Klötzchen lassen sich unendlich weit in den Raum stapeln.
Der Schwerpunkt des gesamten Objekts muss dabei immer auf der Seite des Tisches, bzw. genau an der Tischkante bleiben. Bei Verwendung eines Klötzchens mit der Masse m ist die Sache einfach. Der Schwerpunkt liegt genau in der Mitte des Klötzchens, und daher muss die Mitte des Klötzchens im Abstand von d an die Tischkante gelegt werden.
Das zweite Klötzchen wird nun so unter das erste gelegt, dass seine Vorderkante im Schwerpunkt des ersten liegt. Der Gesamtschwerpunkt zweier Klötzchen liegt jetzt bezogen auf den Ursprung bei
(d*m + 2*d*m) / 2m = 3/2*d
Für d=1/2 also im Abstand von 1/4 vom Schwerpunkt des ersten Klötzchens. Der Prozess lässt sich beliebig fortsetzen. Ich habe ein kleines Python Programm geschrieben, um den Schwerpunkt des Stapels von z.B. 13 Klötzchen zu berechnen.
Die Abstände der Schwerpunkte voneinander, und damit der Zuwachs in den Raum hinein bilden eine harmonische Reihe. Diese Reihe divergiert gegen unendlich, wie Nikolaus von Oresme bereits im 14. Jh. bewiesen hat.
Der Beweis läuft im Wesentlichen wie folgt:
1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9... ist immer größer als 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16... = 1/2 + 1/2 + 1/2..., und 1/2 + 1/2 + 1/2... geht offensichtlich gegen unendlich.
Bei Verwendung unendlich vieler Steine, kann man also unendlich weit in den Raum bauen. Dabei gilt jedoch: einen Überhang von einer Blocklänge erreicht man mit vier Steinen, zwei Blocklängen mit 31, drei Blocklängen mit 227, fünf mit mehr als 22.000 und zehn mit 272 Millionen.
Übersetzt in die Abmaße von Domino-Steinen entsprächen 56 Zentimeter über den Abgrund also 3500 Kilometer in die Höhe. Die Bauweise ist nicht sehr effektiv.
Viel Spaß beim selber rechnen.
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