Große Zahlen

Meine Frau behauptet sie würde beim Kartenspielen immer die gleichen Karten bekommen wenn ich mische. 

Ich möchte hier den Beweis antreten dass das eigentlich völlig unmöglich ist. Bei 32 Karten gibt es 32! also 2,6313083693369353016721801216e+35 Möglichkeiten ein Kartendeck zu erzeugen. Selbst wenn man annimmt dass die derzeitige Erdbevölkerung von ca. 7,8 Milliarden Menschen in der letzten 300 Tausend Jahren der Menschheitsgeschichte jede Sekunde ein Kartendeck erzeugt hätte, wären das nur 8,23e+22 Decks. Jedes Ensemble an ausgeteilten Karten ist also mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit einzigartig. Aber natürlich nur wenn ich richtig mische...

In einer weiteren Rechnung mit ziemlich großen Zahlen habe ich mich verstrickt, als ich versucht habe die Frage meines Sohnes zu beantworten, ob wir nicht einfach zu einem anderen Planeten fliege könnten wenn unsere Erde kaputt ist. Nehmen wir der Einfachheit halber an, so ein Planet läge in dem uns benachbarten Sonnensystem, und nicht noch weiter weg. Die Entfernung zu unserem Nachbarstern Proxima Centauri beträgt ca 4,247 Lichtjahre oder 4,018e+13 Kilometer. Will man diese Strecke im Laufe von noch überschaubaren 100 Jahren zurücklegen, müsste man mit einer mittleren Geschwindigkeit von 4,465e+07 km/h oder 1,240e+07 m/s unterwegs sein. Auskunft auf die Frage ob sich diese Geschwindigkeit mit einem herkömmlichen Raketentriebwerk erreichen lässt, das seinen Brennstoff mit führt, gibt die sogenannte Raketengrundgleichung. Für Triebwerke mit konstanter Austrittsgeschwindigkeit ergibt sich

 

Die Austrittsgeschwindigkeit v_g moderner Flüssigkeitstriebwerke liegt typischerweise bei 4400 m/s. Nehmen wir eine Nutzlast m_N von 1kg an, so müsste eine Treibstoffmasse m_T von 6,944e+2447 kg mitgeführt werden. Das ist unglaublich viel mehr als die sichtbare Masse von ca 1e+53 kg des ganzen Universums. Allein die Zahl ist viel viel größer als die Anzahl der Atome im ganzen Universum, die geschätzt zwischen zwischen 10 hoch 84 und 10 hoch 89 liegt.

Bei Verwendung von Plasmatriebwerken die üblicherweise zur Lage- und Bahnregelung verwendet werden, mit Austrittsgeschwindigkeiten von bis zu 100 km/s reduziert sich die Masse an Treibstoff deutlich. Sie liegt allerdings immer noch bei 7,228e+53 kg. Erst die Verwendung von nuklearen Antrieben scheint eine solche Reise in den Bereich des Möglichen zu verschieben. Ein offener Gaskernreaktor (fission-fragment rocket), der seine Spaltprodukte ausstößt, kann laut Wikipedia einen gewichtsspezifischen Impuls von 10000 s, d.h. eine effektive Austrittsgeschwindigkeit von unglaublichen 1e+6 m/s erzeugen. Die mitzuführende Treibstoffmasse beträgt dann nur 243 Tonnen. Für eine typische Nutzlast einer Rakete von 10t, verzehntausendfacht sich der Wert der Treibstoffmasse allerdings, und beträgt dann 2,43 Millionen Tonnen. Die derzeitig bekannten Uranvorkommen belaufen sich weltweit auf ca. 8 Millionen Tonnen. Es wird also sehr schwer werden einen anderen bewohnbaren Planeten aufzusuchen...

Viel Spaß beim selber rechnen...